2020版高考数学一轮复习 （北京专版）第八节 函数与方程

第八节　函数与方程 A组　基础题组 1.(2016北京朝阳期末)下列函数中,既是奇函数又存在零点的是(　　) A.f(x)=x B.f(x)=1x C.f(x)=ex D.f(x)=sin x 答案　D　A、C为非奇非偶函数,B为奇函数,但不存在零点,故选D. 2.若函数f(x)=ax+6的零点为1,则函数g(x)=x2+5x+a的零点是(　　) A.-6 B.6 C.6,-6 D.1,-6 答案　D　∵函数f(x)=ax+6的零点为1, ∴a+6=0,a=-6, ∴g(x)=x2+5x-6=(x-1)(x+6), 令g(x)=0,得x=1或x=-6, 故函数g(x)=x2+5x+a的零点是1和-6. 3.已知函数f(x)=log12x,x>0,2x,x≤0,若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实数根,则实数k的取值范围是　(　　) A.(0,+∞) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(0,1] 答案　D　作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图所示: 由图可知k∈(0,1],故选D. 4.(2017北京朝阳一模)已知函数f(x)=-x2+4x,x≤2,log2x-a,x>2有两个不同的零点,则实数a的取值范围是(　　) A.[-1,0) B.(1,2] C.(1,+∞) D.(2,+∞) 答案　C　当x≤2时,令f(x)=-x2+4x=0,得x=0或x=4(舍去),即x≤2时, f(x)有一个零点. 当x>2时, f(x)=log2x-a是增函数, 由题意知x>2时, f(x)必有一个零点, 故a=log2x(x>2),∴a>1. 故选C. 5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=x2-2x,若函数g(x)=f(x)-m(m∈R)恰有4个零点,则m的取值范围是　　　　.? 答案　(-1,0) 解析　画出函数f(x)的图象如图所示,若函数g(x)=f(x)-m(m∈R)恰有4个零点,则函数f(x)的图象与直线y=m有4个交点,由图易得m的取值范围为(-1,0). 6.(2016北京东城一模)已知函数f(x)=a(x-1)2+1,x≥0,2-x,x<0, (1)若f(f(-1))=0,则实数a=　　　　;? (2)在(1)的条件下,若直线y=m与y=f(x)的图象有且只有一个交点,则实数m的取值范围是　　　　　　　　.? 答案　(1)-1　(2)(-∞,0)∪[1,+∞) 解析　(1)f(f(-1))=f(2)=a+1=0,∴a=-1. (2)在(1)的条件下画出f(x)的图象如图所示. 若y=m与y=f(x)的图象有且只有一个交点, 则m≥1或m<0. 7.(2017北京顺义二模,14)已知函数f(x)=x3,x≤m,x2,x>m,函数g(x)=f(x)-k. (1)当m=2时,若函数g(x)有两个零点,则k的取值范围是　　　　;? (2)若存在实数k,使得函数g(x)有两个零点,则m的取值范围是　　　　　　　.? 答案　(1)(4,8]　(2)(-∞,0)∪(1,+∞) 解析　(1)当m=2时, f(x)=x3,x≤2,x2,x>2的图象如图所示, 要使函数g(x)有两个零点,则方程f(x)-k=0有两个根,则函数f(x)的图象与直线y=k有两个交点,由图可知41. 8.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0有两个不相等的实数根,其中一个在区间(-1,0)内,另一个在区间(1,2)内,求m的取值范围. 解析　由题意知,二次函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内, 如图所示, 则f(0)=2m+1<0,f(-1)=2>0,f(1)=4m+2<0,f(2)=6m+5>0?m<-12,m∈R,m<-12,m>-56, 即-560,x+1,x≤0. (1)求g[f(1)]的值; (2)若方程g[f(x)]-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围. 解析　(1)∵f(1)=-12-2×1=-3, ∴g[f(1)]=g(-3)=-3+1=-2. (2)若f(x)=t,则g[f(x)]-a=0可化为g(t)=a. 易知方程f(x)=t仅在t∈(-∞,1)时有2个不同的解, 则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点, 作出函数y=g(t)(t<1)的图象,如图所示, 由图象可知,当1≤a<54时,函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点, 即所求a的取值范围是1,54. B组　提升题组 10.用max{a,b}表示a,b两个数中的较大数,设f(x)=max{-x2+8x-4,log2x},若g(x)=f(x)-kx有2个零点,则k的取值范围是　(　　) A.(0,3) B.(0,3] C.(0,4) D.[0,4] 答案　C　函数g(x)=f(x)-kx有2个零点等价于函数f(x)的图象与直线y=kx有2个交点. 在平 ... ...