对数与对数函数 【考纲要求】 1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数； 2.掌握对数函数的概念、图象和性质. 3.正确使用对数的运算性质；底数a对图象的影响及对数函数性质的作用. 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、对数概念及其运算 我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算———对数运算. (一)对数概念: 1.如果，那么数b叫做以a为底N的对数， 记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数恒等式： 3.对数具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即； (2)1的对数为0，即； (3)底的对数等于1，即. (二)常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，. 以e为底的对数叫做自然对数， . (三)对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示. 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数 已知 (1)； 推广： (2)； (3). (五)换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有: (1) 令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即:. (2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 即， 即， 即 当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性. 而且由(2)还可以得到一个重要的结论: . 考点二、对数函数及其图像、性质 1.函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数. 2.在同一坐标系内， 当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴； 当0
0，a≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R (2)对数函数y=logax(a>0，a≠1)的图像过点(1，0) (3)当a>1时， 【典型例题】 类型一、指数式与对数式互化及其应用 例1.将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)； (4)；(5)；(6). 【解析】(1)；(2)；(3)； (4)；(5)；(6). 【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三： 【变式】求下列各式中x的值： (1) (2) (3)lg100=x (4) 【解析】(1)； (2)； (3)10x=100=102，于是x=2； (4)由. 类型二、对数运算法则的应用 例2.求值 (1) log89·log2732 (2) (3) (4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 【解析】(1)原式=. (2)原式= (3)原式= (4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 举一反三： 【变式】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=? 【解析】∵ ∴， 类型三、对数函数性质的综合应用 例3.已知函数 （1）求函数的值域；（2）求的单调性 【解析】 举一反三： 【变式】（2015 天津高考文）已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|―1（m为实数）为偶函数，记a=f(log0.53)，b=f(log25)，c=f (2m)，则a，b，c的大小关系为（ ） (A)a＜b＜c (B)c＜a＜b (C)a＜c＜b (D)c＜b＜a 【答案】B 【解析】由题意，，即，解得m=0，所以 因为，，2m=0 由函数关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调增可知：.故选B. 例4．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间. 【解析】设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4. ∵ y=t为减函数，且00，即-1
