第四讲 数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法 A级 基础巩固 一、选择题 1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于( ) A. B.＋ C.＋ D.＋＋ 解析：因为f(n)＝1＋＋＋…＋， 所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋. 所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋. 答案：D 2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于( ) A．1 B．2 C．3 D．0 解析：边数最少的凸n边形是三角形． 答案：C 3．在数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1.依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( ) A．3n－2 B．n2 C．3n－1 D．4n－3 解析：由条件知：a2＝a1＋2×2－1＝22， a3＝a2＋2×3－1＝32， a4＝a3＋2×4－1＝42，猜想an＝n2. 答案：B 4．一个与自然数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立推得当n＝k＋2时命题也成立，则( ) A．该命题对于n＞2的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与k取什么值无关 D．以上答案都不对 解析：由题意当n＝2时成立可推得n＝4，6，8，…都成立，因此该命题对所有正偶数都成立． 答案：B 5．对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 011次操作后得到的数是( ) A．25 B．250 C．55 D．133 解析：根据第1次，第2次操作规律，可知第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，…，操作后得到的数呈周期性变化，周期为3次，2 011＝670×3＋1，故第2 011次操作后得到的数是133. 答案：D 二、填空题 6．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到_____． 解析：因为n＝k时， 命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”， 所以n＝k＋1时为使用归纳假设， 应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k， 又考虑到目的，最终应为2k＋1－1. 答案：1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 7．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝_____． 解析：已知等式可写为：13＋23＝32＝(1＋2)2，13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，根据上述规律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋…＋6)2＝212. 答案：212 8．用数学归纳法证明“n∈N*时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，n＝1时的原式是_____，从k到k＋1时需添加的项是_____． 答案：1＋2＋22＋23＋24，25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4 三、解答题 9．用数学归纳法证明： …＝(n≥2，n∈N＋)． 证明：(1)当n＝2时，左边＝1－＝， 右边＝＝. 所以等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，等式成立， 即…＝(k≥2，k∈N＋)． 当n＝k＋1时， …＝ ·＝＝＝， 所以当n＝k＋1时，等式成立． 根据(1)和(2)知，对n≥2，n∈N＋时，等式成立． 10．用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除． 证明：(1)当n＝1时，左边＝13＋5×1＝6，能被6整除，结论正确． (2)假设当n＝k时，结论正确，即k3＋5k能被6整除． 则(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝k3＋5k＋3(k2＋k＋2)＝k3＋5k＋3(k＋1)(k＋2)， 因为k3＋5k能被6整除，(k＋1)(k＋2)必为偶数，3(k＋1)(k＋2)能被6整除， 因此，k3＋5k＋3(k＋1)(k＋2)能被6整除． 即当n＝k＋1时结论正确． 根据(1)(2)可知，n3＋5n对于任何n∈N＋都能被6整除． B级 能力提升 1．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)时，从“n＝k到n＝k＋1”左端需乘以的代数式为( ) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D. 解析：当n＝k时，等式为(k＋1)( ... ...
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