第四讲 数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法 A级 基础巩固 一、选择题 1．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式为( ) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 解析：当n＝1时左边所得的代数式为1＋2＋3. 答案：C 2．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则f(n＋1)－f(n)等于( ) A. B.＋ C.＋ D.＋＋ 解析：因为f(n)＝1＋＋＋…＋， 所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋， 所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋. 答案：D 3．已知a1＝，an＋1＝，猜想an等于( ) A. B. C. D. 解析：a2＝＝，a3＝＝， a4＝＝＝， 猜想an＝. 答案：D 4．一个与自然数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立推得当n＝k＋2时命题也成立，则( ) A．该命题对于n＞2的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与k取什么值无关 D．以上答案都不对 解析：由题意当n＝2时成立可推得n＝4，6，8，…都成立，因此该命题对所有正偶数都成立． 答案：B 5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)等于f(k)加上( ) A．2π B．π C. D.π 解析：从n＝k到n＝k＋1时，内角和增加π. 答案：B 二、填空题 6．当f(k)＝1－＋－＋…＋－，则f(k＋1)＝f(k)＋_____． 解析：f(k＋1)＝1－＋－＋…＋－＋－， 所以f(k＋1)＝f(k)＋－. 答案：－ 7．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝_____． 解析：已知等式可写为：13＋23＝32＝(1＋2)2，13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，根据上述规律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋…＋6)2＝212. 答案：212 8．已知平面上有n(n∈N*，n≥3)个点，其中任何三点都不共线，过这些点中任意两点作直线，设这样的直线共有f(n)条，则f(3)＝_____，f(4)＝_____，f(5)＝_____，f(n＋1)＝f(n)＋_____． 解析：当n＝k时，有f(k)条直线．当n＝k＋1时，增加的第k＋1个点与原k个点共连成k条直线，即增加k条直线，所以f(k＋1)＝f(k)＋k. 又f(2)＝1， 所以f(3)＝3，f(4)＝6，f(5)＝10，f(n＋1)＝f(n)＋n. 答案：3 6 10 n 三、解答题 9．在用数学归纳法证明，对任意的正偶数n，均有1－＋－＋…＋－＝2成立时． (1)第一步检验的初始值n0是什么？ (2)第二步归纳假设n＝2k(k∈N*)时等式成立，需证明n为何值时，等式成立． (3)若第二步归纳假设n＝k(k为正偶数)时等式成立，需证明n为何值时，等式成立． 解：(1)n0为2，此时左边为1－，右边为2×＝. (2)假设n＝2k(k∈N*)时，等式成立，就需证明n＝2k＋2(即下一个偶数)时，等式也成立． (3)若假设n＝k(k为正偶数)时，等式成立，就需证明n＝k＋2(即k的下一个正偶数)时，等式也成立． 10．用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除． 证明：(1)当n＝1时，左边＝13＋5×1＝6，能被6整除，结论正确． (2)假设当n＝k时，结论正确，即k3＋5k能被6整除． 则(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝k3＋5k＋3(k2＋k＋2)＝k3＋5k＋3(k＋1)(k＋2)， 因为k3＋5k能被6整除，(k＋1)(k＋2)必为偶数，3(k＋1)(k＋2)能被6整除， 因此，k3＋5k＋3(k＋1)(k＋2)能被6整除． 即当n＝k＋1时结论正确． 根据(1)(2)可知，n3＋5n对于任何n∈N＋都能被6整除． B级 能力提升 1．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)时，从“n＝k到n＝k＋1”左端需乘以的代数式为( ) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D. 解析：当n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)． 当n＝k＋1时，左边＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋k]·[(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋ ... ...
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