中小学教育资源及组卷应用平台 高三专题5之三角函数图像变换 在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如的函数，通过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。 一、基础知识： （一）图像变换规律：设函数为（所涉及参数均为正数） 1、函数图像的平移变换： （1）：的图像向左平移个单位 （2）：的图像向右平移个单位 （3）：的图像向上平移个单位 （4）：的图像向下平移个单位 2、函数图像的放缩变换： （1）：的图像横坐标变为原来的（图像表现为横向的伸缩） （2）：的图像纵坐标变为原来的倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换： （1）：在轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于轴对称的图像 （2）：在轴上方的图像不变，轴下方的部分沿轴向上翻折即可（与原轴下方图像关于轴对称） （二）图像变换中要注意的几点： 1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？ 在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换 例如：：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤 ：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换 2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现： （1）加“常数” 平移变换 （2）添“系数”放缩变换 （3）加“绝对值”翻折变换 3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则： ① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化 例如：可有两种方案 方案一：先平移（向左平移1个单位），此时。再放缩（横坐标变为原来的），此时系数只是添给，即 方案二：先放缩（横坐标变为原来的），此时，再平移时，若平移个单位，则（只对加），可解得，故向左平移个单位 ③ 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行 例如：有两种方案 方案一：先放缩：，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即 方案二：先平移：，则再放缩时，若纵坐标变为原来的倍，那么，无论取何值，也无法达到，所以需要对前一步进行调整：平移个单位，再进行放缩即可（） 二、典型例题： 例1：要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 思路：观察发现原始函数与变换后的函数仅仅多一个常数，说明只有平移变换，在变换的过程中要注意只有含的地方进行了变化，所以只有，所以是向右平移个单位 答案：C 例2：把函数的图像上所有的点横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图像向右平移个单位，这是对应于这个图像的解析式是（ ） A. B. C. D. 思路：，经过化简可得： 答案：A 例3：为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 思路：观察可发现两个函数的三角函数名不同，而图像变换是无法直接改变三角函数名的，只有一个可能，就是在变换后对解析式进行化简，从而使得三角函数名发生改变。所以在考虑变换之前，首先要把两个函数的三角函数名统一，，第二步观察可得只是经过平移变换，但是受到系数影响。所以考虑对两个函数进行变形以便于观察平移了多少，目标函数：；原函数： 可得平移了个单位 答案：B 例4：要得到的图像只需将的图像（ ） A. 先向左平移个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的 B. 先向右平移 ... ...
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