课件62张PPT。3.1.3 函数的奇偶性 第1课时 函数的奇偶性 1.函数的奇偶性【思考】 函数的奇偶性定义中，“对于定义域D内任意一个x，都有-x∈D”，那么奇偶函数的定义域有什么特征？ 提示：奇偶函数的定义域关于原点对称.2.奇偶函数的图像特征 (1)函数是偶函数?图像关于y轴对称； (2)函数是奇函数?图像关于原点对称.【思考】 (1)如果奇函数在原点处有定义，则其图像有什么特征？ 提示：图像过原点，即f(0)=0.(2)有没有一个函数既是奇函数，又是偶函数？ 提示：有.如f(x)=0的图像为x轴，即关于y轴对称，又关于原点对称，因此既是奇函数，又是偶函数.【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)奇函数的图像一定过原点. ( ) (2)如果定义域内存在x0，满足f(-x0)=f(x0)， 函数f(x)是偶函数. ( )(3)若对于定义域内的任意一个x，都有f(x)+ f(-x)=0，则函数f(x)是奇函数. ( )提示：(1)×.不一定，如函数f(x)= . (2)×.不符合定义，必须对于定义域内的任意一个 x都成立. (3)√.若f(x)+f(-x)=0，则f(-x)=-f(x).2.下列图像表示的函数具有奇偶性的是 ( )【解析】选B.B选项的图像关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性.3.若f(x)为R上的奇函数，且f(2)=3，则f(-2) =_____. ? 【解析】因为f(x)为R上的奇函数， 所以f(-2)=-f(2)=-3. 答案：-3类型一 函数奇偶性的判断 【典例】1.函数f(x)= -2x的图像关于 ( ) A.y轴对称 B.坐标原点对称 C.直线y=-x对称 D.直线y=x对称2.判断下列函数的奇偶性： 世纪金榜导学号 (1)f(x)=|2x-1|-|2x+1|. (2)f(x)= 【思维·引】1.先判断函数的奇偶性，再判断图像的对称性. 2.根据函数奇偶性的定义判断.【解析】1.选B.函数的定义域A={x|x≠0}， 所以x∈A时，-x∈A，且f(-x)=- +2x =- =-f(x)， 所以f(x)为奇函数，故图像关于坐标原点对称.2.(1)因为x∈R，f(-x)=|-2x-1|-|-2x+1| =-(|2x-1|-|2x+1|)=-f(x)，所以f(x)是奇函数.(2)方法一：作出函数图像如图： 关于原点对称，所以函数是奇函数.方法二：当x>0时，f(x)=1-x2，此时-x<0， 所以f(-x)=(-x)2-1=x2-1， 所以f(-x)=-f(x)；当x<0时，f(x)=x2-1，此时-x>0， f(-x)=1-(-x)2=1-x2， 所以f(-x)=-f(x)；当x=0时，f(-0)=-f(0)=0. 综上，对x∈R，总有f(-x)=-f(x)，所以f(x)为R上 的奇函数.【内化·悟】 函数具有奇偶性的前提是什么？ 提示：定义域关于原点对称.【类题·通】 判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法： (2)图像法：【发散·拓】 如果两个函数f(x)，g(x)具有奇偶性，且有共同的 定义域，那么f(x)±g(x)、f(x)·g(x)、 (g(x)≠0)有以下规律：偶±偶=偶、奇±奇=奇、 偶×偶=偶、偶×奇=奇、奇×奇=偶，相除时类似于 相乘的情况.【延伸·练】 设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数【解析】选D.当x∈R时，-x∈R，A中， 设g(x)=f(x)f(-x)，则g(-x)=f(-x)·f(x)=g(x)， 为偶函数； B中，设g(x)=f(x)|f(-x)|，则g(-x)=f(-x)· |f(x)|非奇非偶函数；C中，设g(x)=f(x)-f(-x)，则g(-x)=f(-x)-f(x) =-g(x)，为奇函数； D中，设g(x)=f(x)+f(-x)，则g(-x)=f(-x)+f(x) =g(x)，所以f(x)+f(-x)是偶函数.【习练·破】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)= (2)f(x)=x3+x. (3)f(x)= 【解析】(1)f(x)= 的定义域是A=(-∞，1)∪ (1，+∞)，-1∈A，但1?A，所以f(x)为非奇非偶函数. (2)f(x)=x3+x的定义域是R，当x∈R时，-x∈R，且 f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.(3)函数的定义域为R，当x∈R时，-x∈R， 当x>0时，-x<0，则f(-x)=-(-x)+1=x+1=f(x)； 当x=0时，f(-x)=f(x)=1； 当x<0时，-x>0，f(-x)=-x+1=f(x). 综上，对任意x∈R，都有f(-x)=f ... ...
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