第1节 直线的方程 最新考纲 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 知 识 梳 理 1.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角； (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). 2.直线的斜率 (1)定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α； (2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直线 [微点提醒] 1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系： α 0 0<α< <α<π k 0 k>0 不存在 k<0 2.直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系： 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( ) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( ) 解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2. (2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.(必修2P89B5改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为_____. 解析 由题意得＝12，解得m＝－2，∴A(2，6)， ∴直线AB的方程为y－6＝12(x－2)， 整理得12x－y－18＝0. 答案 12x－y－18＝0 3.(必修2P100A9改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_____. 解析 当纵、横截距均为0时，直线方程为3x－2y＝0； 当纵、横截距均不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0. 答案 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 4.(2019·衡水调研)直线x－y＋1＝0的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.120° D.150° 解析 由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°. 答案 B 5.(2019·广东七校联考)若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是( ) A.(－2，1) B.(－1，2) C.(－∞，0) D.(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析 由题意知<0，即<0，解得－2
0，b>0). 由题意得解得 故直线l的方程为＋＝1， 即3x＋y－6＝0. 答案 A 考点一 直线的倾斜角与斜率 典例迁移 【例1】 (1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是( ) A. B. C. D. (2)(一题多解)(经典母题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_____. 解析 (1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α， 因为α∈，所以≤cos α≤， 因此k＝2cos α∈[ ... ... 