第2章 4 二次函数性质的再研究

§4　二次函数性质的再研究 学习目标　1.掌握配方法，理解a，b，c(或a，h，k)对二次函数图像的作用.2.理解由y＝x2到y＝a(x＋h)2＋k的图像变换方法.3.能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求解析式.4.掌握二次函数的性质． 知识点一　二次函数的配方法 思考　y＝4x2－4x－1如何配方？你能由此求出方程4x2－4x－1＝0的根吗？ 答案　y＝4(x2－x)－1＝4－1 ＝42－2. 令y＝0，即4x2－4x－1＝0， 42－2＝0， 2＝， x＝±＝. 梳理　对于一般的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，可类似地配方为y＝a2＋，由此可得二次函数的值域、顶点等性质，y＝x2与y＝ax2＋bx＋c图像间的关系以及二次方程求根公式等．所以配方法是非常重要的数学方法． 知识点二　图像变换 思考　y＝x2和y＝2(x＋1)2＋3的图像之间有什么关系？ 答案　y＝x2的图像各点纵坐标变为原来的2倍，可得y＝2x2的图像；再把y＝2x2的图像向左平移1个单位长度，再上平移3个单位长度，得y＝2(x＋1)2＋3的图像． 梳理　由y＝x2的图像各点纵坐标变为原来的a倍，左移个单位长度，上移个单位长度，可得y＝a2＋的图像，即y＝ax2＋bx＋c的图像． 知识点三　二次函数的三种形式 思考　我们知道y＝x2－2x＝(x－1)2－1＝(x－2)x，那么点(1，－1)，数0,2是y＝x2－2x的什么？ 答案　点(1，－1)是y＝x2－2x的顶点，数0,2是方程x2－2x＝0的两根． 梳理　(1)二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)如果已知二次函数的顶点坐标为(－h，k)，则可将二次函数设为y＝a(x＋h)2＋k. (3)如果已知方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2(即抛物线与x轴交点横坐标)，可设为y＝a(x－x1)(x－x2)． 知识点四　二次函数的性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c＝a2＋(a，b，c是常数，且a≠0) 图像 性质 开口 向上 向下 对称轴方程 x＝－ x＝－ 顶点坐标 单调性 在区间上是减函数，在区间上是增函数 在区间上是增函数，在区间上是减函数 最值 当x＝－时，y有最小值，ymin＝ 当x＝－时，y有最大值，ymax＝ 1．若函数f(x)＝(a－1)x＋b在R上为增函数，则a>1，b∈R.(　√　) 2．若函数y＝x2的图像向上平移1个单位长度，则所得图像对应的函数解析式为y＝(x＋1)2. (　×　) 3．二次函数y＝x2与y＝3x2的图像的形状相同．(　×　) 类型一　二次函数解析式的求解 例1　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴相交于点A(－3,0)，对称轴为x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式． 考点　二次函数解析式求法 题点　一般式求法 解　方法一　代入A(－3,0)， 有9a－3b＋c＝0，① 由对称轴为x＝－1，得－＝－1，② 顶点M到x轴的距离为|a－b＋c－0|＝2，③ 联立①②③解得或 所以此函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋. 考点　二次函数解析式求法 题点　顶点式求法 方法二　因为二次函数图像的对称轴是x＝－1， 又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为(－1,2)或(－1，－2)， 故可得二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2. 因为图像过点A(－3,0)，所以0＝a(－3＋1)2＋2或0＝a(－3＋1)2－2，解得a＝－或a＝. 故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋1)2＋2＝－x2－x＋或y＝(x＋1)2－2＝x2＋x－. 考点　二次函数解析式的求法 题点　两根式求法 方法三　因为二次函数图像的对称轴为x＝－1， 又图像过点A(－3,0)，所以点A关于对称轴的对称点A′(1,0)也在图像上， 所以可得二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)． 由题意得顶点坐标为(－1,2)或(－1，－2)， 分别代入上式，解得a＝－或a＝. 故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－x＋或y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋x－. 反思与感悟　求二次函数解析式的步骤 跟踪训练1　(1)y＝ax2＋6x－8与直线y＝－3x交于点A(1，m)，求a. 考点　二次函数解析式的求法 题点　一般式求 ... ...