人教B版数学选修2-2（课件50+教案+练习）2.3.1　数学归纳法2.3.2　数学归纳法应用举例

2.3　数学归纳法 2.3.1　数学归纳法 2.3.2　数学归纳法应用举例 学 习 目 标 核 心 素 养 1．了解数学归纳法的原理．(重点、易混点) 2．掌握数学归纳法的步骤．(难点) 3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(难点) 1．通过数学归纳法的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理素养. 2．通过利用数学归纳法证明数学命题，提升学生数学运算素养. 数学归纳法 数学归纳法的定义 一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一个值n0时命题成立； (2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题也成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立． 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法． (　　) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1． (　　) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝(　　) A．a1＋(k－1)d　　　 B. C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d [解析]　假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d. [答案]　C 3．下列说法正确的是_____．(填序号) ①数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明； ②证明当n＝k＋1时命题成立用到归纳假设，即n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立； ③不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项． [答案]　①② 用数学归纳法证明等式 【例1】　(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是(　　) A．1　　　　　　　 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 (2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为_____． [解析]　(1)当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D. (2)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)·(k＋2)…(k＋k)， f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)． [答案]　(1)D　(2)2(2k＋1) 数学归纳法证题的三个关键点 1．验证是基础 找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1． 2．递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项． 3．利用假设是核心 在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 1．下面四个判断中，正确的是(　　) A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋k C．式子1＋＋＋…＋(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋ D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)， 则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋ [解析]　A中，n＝1时，式子＝1＋k； B中，n＝1时，式子＝1； C中，n＝1时，式子＝1＋＋； D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－. 故正确的是C. [答案]　C 用数学归纳法证明不等式 【例2】　(1)用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是_____． (2)证明：不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)． [思路探究]　(1)写出当n＝k时左边的式子，和当n＝k＋1时左边的式子，比较即可． ( ... ...