3.1 指数函数 3.1.1 分数指数幂 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点) 2.掌握有理指数幂的运算法则．(重点) 3.了解实数指数幂的意义. 通过学习本节内容提升学生的数学运算核心素养. 1．平方根与立方根的概念 如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个． 2．a的n次方根 (1)定义：一般地，如果一个实数x满足xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次实数方根，式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)几个规定： ①当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根只有一个，记作x＝； ②当n为偶数时，正数的n次实数方根有2个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号表示，负的n次实数方根用符号－表示，它们可以合并写成±(a>0)形式； ③0的n次实数方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数)． 3．根式的性质 (1)＝0(n∈N*，且n>1)； (2)()n＝a(n∈N*，且n>1)； (3)()＝a(n为大于1的奇数)； (4)()＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 4．分数指数幂的意义 一般地，我们规定： (1)a＝(a>0，m，n均为正整数)； (2)a＝(a>0，m，n均为正整数)； (3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义． 5．有理数指数幂的运算性质 (1)asat＝as＋t； (2)(as)t＝ast； (3)(ab)t＝atbt， (其中s，t∈Q，a>0，b>0)． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)16的四次方根为2. ( ) (2)＝π－4. ( ) (3)＝－2. ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× [提示] (1)16的四次方根有两个，是±2；(2)＝|π－4|＝4－π；(3)没意义． 2．若n是偶数，＝x－1，则x的取值范围为_____． [1，＋∞) [x－1≥0，∴x≥1.] 3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是_____．(填序号) (1)＝5；(2)2－＝；(3)＝(－2)；(4)3＝. (1)(2) [根据根式与分数指数幂的互化关系，(1)(2)正确，(3)(4)错误．] 4．设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝_____. 8 [52x－y＝＝＝＝8.] 根式的性质 【例1】 求下列各式的值． (1)；(2)；(3)；(4)； (5)－，x∈(－3,3)． 思路点拨：利用根式的性质进行求解． [解] (1)＝－2. (2)＝＝. (3)＝|3－π|＝π－3. (4)＝＝|a3|＝ (5)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|， 当－30，m，n∈N*，且n>1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 2．分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用． 2．将下列根式化成分数指数幂的形式． 分数指数幂的运算 【例3】 (1)计算：0.064－＋[(－2)3]＋16－0.75＋|－0.01|； 思路点拨：将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算． 指数幂 ... ...
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