1.2 余弦定理 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握余弦定理及其推论．(重点) 2.掌握正、余弦定理的综合应用．(重点) 3.能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点) 1.借助余弦定理的推导过程，提升学生的逻辑推理素养. 2.通过余弦定理的应用，提升学生的数学运算素养. 1．余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 即a2＝b2＋c2－2bccos_A， b2＝c2＋a2－2cacos_B， c2＝a2＋b2－2abcos_C. 思考1：根据勾股定理，若△ABC中，C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcos C．① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？ [提示] 当a＝b＝c时，C＝60°， a2＋b2－2abcos C＝c2＋c2－2c·ccos 60°＝c2， 即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcos C. 思考2：在c2＝a2＋b2－2abcos C中，abcos C能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？ [提示] abcos C＝||·||cos〈，〉＝·. ∴a2＋b2－2abcos C ＝＋－2· ＝(－)2＝＝c2. 猜想得证． 2．余弦定理的变形 (1)余弦定理的变形 cos A＝， cos B＝， cos C＝. (2)余弦定理与勾股定理的关系 在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为直角；c2>a2＋b2?C为钝角；c2
csin 30°＝3×＝知本题有两解． 由正弦定理sin C＝＝＝， ∴C＝60°或120°，当C＝60°时，A＝90°， 由勾股定理a＝＝＝6， 当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形， ∴a＝3. 已知三角形的两边及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理?已知两边和一边的对角?求解. 若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题?在?0，π?上，余弦值所对角的值是唯一的?，故用余弦定理求解较好. 1．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形． [解] 根据余弦定理得， b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos 45°＝8， ∴b＝2. 又∵cos A＝ ＝＝， ∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°. 已知三边解三角形 【例2】 已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC的各角的大小． 思路探究：已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而问题转化为已知三边求三角，可利用余弦定理求解． [解] 设a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)， 利用余弦定理， 有cos A＝＝＝， ∴A＝45°.同理可得cos B＝，B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝75°. 1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一． 2 ... ... 