3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握空间向量的基本定理及其推论，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法．(重点、难点) 2.理解空间向量坐标的定义，能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标运算判断两个空间向量平行．(重点) 3.基向量的选取及应用．(易错点) 1.借助空间向量的坐标运算，提升数学运算素养． 2.通过空间向量基本定理的运用，培养数学抽象素养. 1．空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3. 2．基底、基向量 在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量.0不能作为基向量． 3．正交基底、单位正交基底 如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示． 4．空间向量基本定理的推论 设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋＋z. 5．空间向量的坐标运算 (1)空间向量的坐标 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a的坐标． (2)空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量的加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量的减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘向量 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 向量平行 a∥b(a≠0)? b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3，λ∈R 思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？ (2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组{x，y，z}是否唯一？ [提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． (2)唯一确定． 1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是( ) A.，， B.，， C.，， D.，， C [由题意知，，，不共面，可以作为空间向量的一个基底．] 2．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于( ) A．(16,0,4) B．(8，－16,4) C．(8,16,4) D．(8,0,4) D [4a＝(12，－8,4)，2b＝(－4,8,0)， ∴4a＋2b＝(8,0,4)．] 3．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为_____． a＝(4，－8,3) b＝(－2，－3,7) [由题意知a＝(4，－8，3)，b＝(－2，－3,7)．] 4．设a＝(1,2,3)，b＝(－2,2，－2)，若(ka－b)∥(a＋b)，则k＝_____. －1 [ka－b＝k(1,2,3)－(－2,2，－2)＝(k＋2,2k－2,3k＋2)，a＋b＝(－1,4,1)．∵(ka－b)∥(a＋b)， ∴＝＝3k＋2，解得k＝－1.] 基底的判断 【例1】 (1)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是_____(填序号)． ①{a，a＋b，a－b}；②{b，a＋b，a－b}；③{c，a＋b，a－b}；④{a＋b，a－b，a＋2b}． (2)若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且向量＝2e1＋e2＋e3，＝e1－e2＋2e3，＝ke1＋3e2＋2e3不能作为空间的一组基底，则k＝_____. [思路探究] (1)看各组向量是否共面，共面不能作为基底，否则可作基底；(2)，，共面，利用共面向量定理求解． [解析] (1)若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a，b，c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底． (2)因为，，不能作为空间向量的一组基底，故，，共面． 由共面向量定理可知，存在实数x，y，使＝x＋y， 即ke1＋ ... ...
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