苏教版数学选修2-1（课件45+教案+练习）3.1.5　空间向量的数量积

3.1.5　空间向量的数量积 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律．(重点) 2.掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题．(重点、难点) 3.了解向量夹角与直线所成角的区别．(易错点) 1.通过数量积的概念、性质和运算律的学习，培养逻辑推理素养． 2.借助空间角、距离等问题，提升数学运算素养. 1．空间向量的夹角 a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉，?a，b?的范围是[0，π]，如果〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. 2．空间向量的数量积 (1)数量积的定义 设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|·cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)数量积的性质 (1)cos?a，b?＝(a，b是两个非零向量)． (2)a⊥b?a·b＝0(a，b是两个非零向量)． (3)|a|2＝a·a＝a2. (3)数量积的运算律 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)； (3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 3．数量积的坐标表示 (1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0(a≠0，b≠0)． (3)|a|＝＝. (4)cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)． (2)空间两点间距离公式 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝ . 思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？ (2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？ [提示]　(1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0 (2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一定是锐角． 1．已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，设＝a，＝b，＝c，则〈，〉等于(　　) A．30°　　B．60°　　C．90°　　D．120° D　[△B′D′C是等边三角形，〈，〉＝〈，〉＝120°.] 2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝ (　　) A.1　　　 B. C. D. D　[ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝.] 3．若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则＝_____，＝_____. (1，－1，－1)　　[＝(1，－1，－1)，||＝＝.] 4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝_____. π　[cos〈a，b〉＝＝＝－.所以〈a，b〉＝π.] 求空间向量的数量积 【例1】　已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积． (1)·； (2)·. [思路探究]　法一(基向量法)： 与，与的夹角不易求，可考虑用向量，，表示向量，，，，再求结论即可． 法二(坐标法)： 建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积． [解]　法一(基向量法)：如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)·＝·(＋)＝b·＝|b|2＝42＝16. (2)·＝(＋)·(＋)＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. 法二(坐标法)：以A为原点建立空间直角坐标系，如上图所示，则B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D1(0,4,2)，F(0，2,2)，A(0,0,0)，B1(2,0,2)， ∴＝(0,4,0)，＝(－1,4,1)，＝(－2,2,2)，＝(2,0,2)， (1)·＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16. (2)·＝－2×2＋2×0＋2×2＝0. 解决此类问题的常用方法 1．基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算．注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量． 2．坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法比较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可． 1．在上述例1中，求·. [解]　法一：·＝·＝(－a＋b＋c)·＝－|a| ... ...