2．1 合情推理与演绎推理(略) 2．2 直接证明与间接证明(略) 2．3 数学归纳法(不作高考要求) 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点) 2．数学归纳法证明几何命题．(难点) 3．归纳递推的论证．(易错点) 1.通过学习数学归纳法原理，提升数学抽象素养． 2．通过利用数学归纳法证明，提升数学运算、逻辑推理素养. 数学归纳法公理 一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，可以用数学归纳法公理：如果 (1)当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确； (2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确． 那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立． 1．下面四个判断中，正确的是( ) A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋k C．式子1＋＋＋…＋(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋ D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋ C [A中，n＝1时，式子＝1＋k； B中，n＝1时，式子＝1； C中，n＝1时，式子＝1＋＋； D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.故正确的是C.] 2．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时，先验证n＝_____成立． [答案] 2 3．已知Sn＝＋＋＋…＋，则S1＝_____，S2＝_____，S3＝_____，S4＝_____，猜想Sn＝_____. [分别将1,2,3,4代入得S1＝， S2＝，S3＝，S4＝，观察猜想得Sn＝.] 用数学归纳法证明等式 【例1】 (1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是_____．(填序号) ①1； ②1＋2； ③1＋2＋3； ④1＋2＋3＋4. (2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3 …×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为_____． (1)④ (2)2(2k＋1) [(1)当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选④. (2)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)， f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)．] 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项． (3)利用假设是核心 在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 1．求证：1－ ＋ － ＋… ＋ － ＝ ＋ ＋… ＋ (n∈N*)． [证明] ①当n＝1时，左边＝1－＝， 右边＝，所以等式成立． ②假设n＝k(k∈N*)时， 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋成立． 那么当n＝k＋1时， 1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋＋ ＝＋＋…＋＋， 所以n＝k＋1时，等式也成立． 综上所述，对于任何n∈N*，等式都成立． 用数学归纳法证明不等式 【例2】 (1)用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是_____． (2)证明：不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N*)． [思路探究] (1)写出当n＝k时左边的式子，和当n＝k＋1时左边的式子，比较即可． (2)在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度． (1) [当n＝k＋1时左边的代数式是＋＋…＋＋，增加了两项与，但是少了一项，故不等式的左边增加的式子是＋－＝.] (2)[证明] ①当n＝1时，左边＝ ... ...
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