第一课 导数及其应用 导数的几何意义及其应用 【例1】 已知曲线y＝x3＋. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程． [解] (1)∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2， ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x. ∴切线方程为y－＝x(x－x0)， 即y＝x·x－x＋. ∵点P(2,4)在切线上， ∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0， ∴x＋x－4x＋4＝0. ∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， 解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0. (3)设切点为(x0，y0)， 则切线的斜率k＝x＝4，∴x0＝±2. ∴切点为(2,4)或. ∴斜率为4的曲线的切线方程为y－4＝4(x－2)和y＋＝4(x＋2)，即4x－y－4＝0和12x－3y＋20＝0. 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)如果已知点不是切点，则应先求出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 注意：曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，y＝x3在(1,1)处的切线l与y＝x3的图象还有一个交点(－2，－8)． 1．(1)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于_____． (2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是_____．(填序号) (1)2 (2)② [(1)y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′＝2. (2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．①中，在x＝0时变化率最小，故错误；③中，变化率是越来越大的，故错误；④中，变化率是越来越小的，故错误；②正确．] 函数的单调性与导数 【例2】 已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)内单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． [思路探究] 研究函数的单调性可通过判断导数的符号来解决．因为涉及参数a，所以要分类讨论． [解] (1)由已知，得f′(x)＝3x2－a. 因为f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立． 因为3x2≥0，所以只需a≤0. 又因为当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上单调递增，所以a≤0. 故实数a的取值范围是a≤0. (2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)内恒成立， 得a≥3x2在x∈(－1,1)内恒成立． 因为－10，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)<0，得到函数f(x)的递减区间． 注意：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误． 2．设函数f(x)＝aln x＋(a≠0)，讨论函数f(x)的单调性． [解] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝＋＝. 当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a， 由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)， ①当a＝－时，Δ＝0，f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ③当－＜a＜0时，Δ＞0. 设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x ... ...
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