2.5 随机变量的均值和方差 2.5.1 离散型随机变量的均值 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解取有限值的离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值．(重点、难点) 2．掌握随机变量均值的线性性质及两点分布、超几何分布和二项分布的均值公式．(重点) 3．能运用离散型随机变量的均值来解决一些简单的实际问题．(重点) 1.经历概念构建，提升逻辑推理素养． 2．借助实际应用，培养数学抽象素养. 1．离散型随机变量的均值(数学期望)的定义 若离散型随机变量X的概率分布如下表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或μ，即E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，其中，xi是随机变量X的可能取值，pi是概率，pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1. 2．超几何分布、二项分布的数学期望 (1)超几何分布：若X～H(n，M，N)，则E(X)＝. (2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np. 思考1：离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？ [提示] ①区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化；②联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值． 思考2：随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其值随X的变化而变化吗？ [提示] 随机变量的均值是常数，其值不随X的变化而变化． 1．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为，，.随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为( ) A．1.18 B．3.55 C．1.23 D．2.38 A [因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，P(X＝1.2)＝，P(X＝1.18)＝，P(X＝1.17)＝， 所以X的概率分布列为 X 1.2 1.18 1.17 P 则E(X)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.] 2．已知离散型随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 则X的数学期望E(X)＝_____. [E(X)＝1×＋2×＋3×＝.] 3．若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为_____． [E(X)＝np＝4×＝.] 两点分布、二项分布、超几何分布的期望 【例1】 (1)老师把4本不同的数学参考书和2本不同的英语参考书发给甲、乙两位同学，每人3本，假设老师拿每本书是随机的，用随机变量X表示同学甲得到的英语书的本数，则X的数学期望为_____． (2)某运动员投篮命中率为p＝0.6. ①求投篮1次时命中次数X的数学期望． ②求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望． (1)1 [这是一个超几何分布问题，实际上是从6本书(其中英语书有2本)中取3本的问题． 法一：依题意知，X的可能取值为0,1,2，且P(X＝k)＝，k＝0,1,2，故X的分布列如表所示． X 0 1 2 P 从而E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 法二：依其数学模型知，X服从超几何分布，且n＝3，M＝2，N＝6，则E(X)＝＝＝1.] (2)[解] ①投篮1次，命中次数X的分布列如表： X 0 1 p 0.4 0.6 则F(X)＝p＝0.6. ②由题意得，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3. 1．(变换条件)求重复10次投篮时，命中次数ξ的数学期望． [解] 重复投篮10次，命中次数ξ服从二项分布，即ξ～B(10，0.6) ∴E(ξ)＝10×0.6＝6. 2．(变设问)重复5次投篮时，命中次数为Y，随机变量η＝5Y＋2，求E(η)． [解] E(η)＝E(5Y＋2)＝5E(Y)＋2＝5×3＋2＝17. 1．通过本例可以看出，若随机变量服从超几何分布或二项分布，利用各自的数学期望公式求均值更方便． 2．超几何分布、二项分布的数学期望的求法步骤： (1)判断随机变量是否服从超几何分布或二项分布； (2)找出相应的参数； (3)利用数学期望公式求E(X)． 定义法求离散型随机变量的数学期望 【例2】 ... ...
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