1.2 余弦定理 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三角形度量问题时的作用．(难点) 2．掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(重点) 1.通过余弦定理的推导提升逻辑推理素养． 2．通过余弦定理在解三角形中的应用提升数学运算素养. 1．余弦定理 阅读教材P49～P50例4以上部分，完成下列问题． 语言表述 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号表示 a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝a2＋c2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C 推论 cos A＝；cos B＝ ；cos C＝ 作用 实现三角形边与角的互化. 思考：(1)余弦定理和勾股定理有什么关系？ [提示] 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． (2)观察余弦定理的符号表示及推论，你认为余弦定理可用来解哪类三角形？ [提示] ①已知两边及其夹角，解三角形； ②已知三边，解三角形． 2．余弦定理的推导 如图，设＝a，＝b，＝c那么c＝a－b． |c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b) ＝a·a＋b·b－2a·b ＝a2＋b2－2ab cos C 所以c2＝a2＋b2－2abcos_C． 同理可证： a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2accos B， 1．在△ABC中，符合余弦定理的是( ) A．c2＝a2＋b2－2abcos C B．c2＝a2－b2－2bccos A C．b2＝a2－c2－2bccos A D．cos C＝ A [由余弦定理知选A．] 2．在△ABC中，若已知a＝2，b＝3，c＝，则cos A＝_____. [cos A＝＝＝.] 3．在△ABC中，已知A＝60°，b＝2，c＝1，则a＝_____. [a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋1－2×2×1×＝3，所以a＝.] 已知两边及一角解三角形 【例1】 (1)已知△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝3，则c＝_____. (2)在△ABC中，已知a＝3，c＝2，B＝150°，则边b的长为_____． (1)5 (2)7 [(1)A为b，c的夹角，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 得16＝9＋c2－6×c， 整理得5c2－18c－35＝0. 解得c＝5或c＝－(舍去)． (2)在△ABC中，由余弦定理得： b2＝a2＋c2－2accos B＝(3)2＋22－2×3×2×＝49. 所以b＝7.] (1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法 ①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况； ②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)已知两边及其夹角解三角形的方法 方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． 方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． [提醒] 解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便. 1．(1)在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝_____. (2)在△ABC中，已知A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c． (1) [由题意，得a＋b＝5，ab＝2. 所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19， 所以c＝.] (2)[解] 由余弦定理， 得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)， 所以49＝64－2bc， 即bc＝15， 由 解得或 已知三边(三边关系) 解三角形 【例2】 (1)在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶∶2，求A，B，C． (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝a，求cos A． [解] (1)由于a∶b∶c＝1∶∶2， 可设a＝x，b＝x，c＝2x. 由余弦定理的推论，得cos A＝＝ ＝， 故A＝30°. 同理可求得cos B＝，cos C＝0，所以B＝60°，C＝90°. (2)由B＝C,2b＝a，可得c＝b＝a． 所以cos A＝＝＝. 已知三角形的三边解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求 ... ...
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