§3 解三角形的实际应用举例 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用．(重点) 2．了解测量的方法和意义．(难点) 3．提高应用数学知识解决实际问题的能力．(难点) 1.通过实际问题应用举例提升数学建模素养． 2．通过解三角形的实际应用培养数学运算素养. 实际问题中的有关术语 阅读教材P58～P61“练习2”以上部分完成下列问题． 名称 定义 图示 仰角 与俯角 在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30° 思考：(1)方位角的范围是什么？ [提示] [0°，360°) (2)若点B在点A的北偏东60°，那么点A在点B的哪个方向？ [提示] 南偏西60°. 1．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的( ) A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′ C．北偏西55°33′ D．南偏西34°27′ [答案] A 2．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( ) A．北偏东5° B．北偏西10° C．南偏东5° D．南偏西10° [答案] B 3．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( ) A．50m B．50m C．25m D．m A [由正弦定理得＝， 又∵B＝30°， ∴AB＝＝＝50(m)．] 4．在A点观察一塔吊顶的仰角为45°，又A点距塔吊底部距离为45米，则塔吊的高是_____米． 45 [如图所示，设塔吊为BC，由题意可知△ABC为等腰直角三角形，所以BC＝AB＝45(米)．] 测距离问题 【例1】 海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是_____． 5海里 [如图，在△ABC中，C＝180°－(B＋A)＝45°， 由正弦定理，可得＝， 所以BC＝×10＝5(海里)．] 求距离问题时应注意的三点 (1)选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． (3)测量两个不可到达的点之间的距离问题．首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边． 1．(1)为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示)，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8 m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为_____m. (2)如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？ (1)8(－1) [根据正弦定理得 ＝， 所以AB＝ ＝ ＝＝8(－1)(m)， 即A，B间的距离为8(－1)m.] (2)[解] 由正弦定理得 AC＝ ＝＝ ＝10(1＋)(米)， BC＝ ＝＝20(米)． 在△ABC中，由余弦定理得 AB＝＝10(米)． 所以A，B两点间的距离为10米． 测量高度问题 【例2】 如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝_____m. 100 [在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝300(m)． 在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝300·tan 3 ... ...
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