§2 从位移的合成到向量的加法 2.1 向量的加法 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量．(重点) 2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算．(难点) 1.通过学习向量加法的定义及三角形法则与平行四边形法则，体会数学直观素养． 2．通过运用交换律、结合律进行向量加法运算、提升数学运算素养. 向量求和法则及运算律 类别 图示 几何意义 向量 求和 的法 则 三角 形法 则 已知向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 向量 求和 的法 则 平行 四边 形法 则 已知向量a，b，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形，向量叫作向量a与b的和，表示为＝a＋b 向量 加法 的运 算律 交换 律 a＋b＝b＋a 结合 律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 思考：根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律．(注：＝a，＝b，＝c) [提示] ∵＝＋＝(＋)＋，∴＝(a＋b)＋c， 又∵＝＋＝＋(＋)， ∴＝a＋(b＋c)，∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 1．作用在同一物体上的两个力F1＝60 N，F2＝60 N，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为( ) A．30 N B．60 N C．90 N D．120 N [答案] B 2．在△ABC中，必有＋＋等于( ) A．0 B．0 C．任一向量 D．与三角形形状有关 [答案] B 3．化简下列各向量： (1)＋＝_____. (2)＋＋＝_____. (1) (2) [根据向量加法的三角形法则及运算律得： (1)＋＝. (2)＋＋＝＋＋＝＋＝.] 4．在正方形ABCD中，||＝1，则|＋|＝_____. [答案] 向量加法法则的应用 【例1】 (1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a＋b； (2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b. [解] (1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作向量，则＝a＋b. (2)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接BC，则四边形OACB为平行四边形，＝a＋b. 用三角形法则求向量和，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”.且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置.两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用. 1．已知向量a，b，c，如图，求作a＋b＋c. [解] 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图，则由向量加法的三角形法则，得＝a＋b，＝a＋b＋c. 向量加法及其运算律 【例2】 化简下列各式： (1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋. [思路探究] 所给各式均为向量和的形式，因此可利用三角形法则和向量加法的运算律求解． [解] (1)＋＝＋＝. (2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝0或＋＋＝(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝0. (3)＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋＋ ＝＋ ＝0. 向量加法运算律的应用原则及注意点? ?1?应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.? ?2?注意点：? ①三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”；? ②向量的和仍是向量；? ③利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的. 2.如图：在平行四边形ABCD中． (1)＋＝_____； (2)＋＋＝_____； (3)＋＋＝_____； (4)＋＋＝_____. (1) (2) (3) (4)0 [(1)由平行四边形法则知 ＋＝. (2)＋＋＝＋＝. (3)＋＋＝＋＝. (4)∵＝， ∴＋＋＝＋＋＝＋＝0.] 向量加法的实际应用 [探究问题] 1．如何计算两个向量的和？ [提示] 两个向量相加，其和仍是一个向量．计算两个向量的和需利用三角形法则或平行四边形法则，在使用三角形法则时，应注意“首尾相连”；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量 ... ...
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