§7 向量应用举例 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离．(重点) 2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题．(难点) 3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. 1.通过学习直线法向量的概念、点到直线的距离，培养数学抽象素养． 2.通过用向量方法解决一些实际问题，提升数学建模素养. 向量应用举例 (1)点到直线的距离公式 若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为：d＝. (2)直线的法向量 ①定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量． ②公式：设直线l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)． (3)向量的应用 向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用． 思考：向量的数量积与功有什么联系？ [提示] 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积． 1．直线2x－y＋1＝0的一个法向量是( ) A．(2,1) B．(－1，－2) C．(1,2) D．(2，－1) [答案] D 2．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( ) A．(5,0) B．(－5,0) C. D．－ [答案] C 3．点P0(－1,2)到直线l：2x＋y－10＝0的距离为_____． [答案] 2 4．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(4,0)，则力F对物体作的功为_____． [答案] 4 平面几何中的垂直问题 【例1】 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. [证明] 法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 所以·＝· ＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，则＝(2,1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0. 所以⊥，即AF⊥DE. 利用向量解决垂直问题的方法和途径 方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0. 途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式． 1．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值． [解] 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系． 设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)， 从而可求：＝(－2a，a)，＝(a，－2a)， 不妨设、的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝－. 故所求钝角的余弦值为－. 向量在物理中的应用 【例2】 两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)．求： (1)F1，F2分别对该质点做的功； (2)F1，F2的合力F对该质点做的功． [解] ＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j. (1)F1做的功W1＝F1·s＝F1·＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28. F2做的功W2＝F2·s＝F2·＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23. (2)F＝F1＋F2＝5i－4j，所以F做的功W＝F·s＝F·＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5. 1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系． 2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则． 3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一． 2．某人在静水中游泳，速度为4 km/h. (1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？ [解] (1)如图①，设人 ... ...
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