2020届高三数学（理）高考一轮复习讲义，习题，补习资料：4.1 平面向量的概念及其线性运算

第一节　平面向量的概念及其线性运算 向量的线性运算及几何意义 (1)理解平面向量的有关概念及向量的表示方法． (2)掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义． (3)理解两个向量共线的含义． (4)了解向量线性运算的性质及其几何意义． 知识点一　向量的有关概念 名称 定义 向量 既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或称模) 零向量 长度为零的向量叫作零向量，其方向是任意的，零向量记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 平行向量 表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这两个向量叫作平行向量，平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相反向量 长度相等且方向相反的向量 ?易误提醒　 1．对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行．(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件． 2．单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制． [自测练习] 1．若向量a与b不相等，则a与b一定(　　) A．有不相等的模 B．不共线 C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量 2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k(　　) A．共线 B．不共线 C．共线且同向 D．不一定共线 知识点二　向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb ?易误提醒　 1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点． 2．数乘向量仍为向量只是模与方向发生变化，易认为数乘向量为实数． [自测练习] 3．(2019·通州模拟)已知在△ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是(　　) A.＋＝ B.＝＋ C.－＝ D．2＋＝ 知识点三　共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. ?易误提醒　 1．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 2．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． ?必记结论　三点共线等价关系： A，P，B三点共线?＝λ(λ≠0)?＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)?＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)． [自测练习] 4．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝_____. 考点一　向量的基本概念| 1．(2019·郑州二模)已知a，b，c是任意向量，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a∥b，则a，b方向相同或相反； ③若a＝－b，则|a|＝|b|； ④若a，b不共线，则a，b中至少有一个为零向量，其中正确命题的个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是(　　) A．a＝2b B．a∥b C．a＝－b D．a⊥b 解决向量的概念问题应关注五点 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关． (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． (5)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量． 　　 考点二　平面向量的线性运算| 　(1)(2019·四川模拟Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ (2)(2019·东北三校联考(二))已知在△ABC中，D是AB边上的一点，若＝2，＝ ... ...