4.3 指数函数与对数函数的关系 课时7 指数函数与对数函数的关系 知识点一 反函数的概念 1.函数y＝e2x(x∈R)的反函数为( ) A．y＝2ln x(x>0) B．y＝ln (2x)(x>0) C．y＝ln x(x>0) D．y＝ln (2x)(x>0) 答案 C 解析 y＝e2x>0,2x＝ln y，x＝ln y，∴y＝e2x的反函数为y＝ln x，x>0. 2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是( ) A．y＝3－3x(x≥0) B．y＝3＋3x(x≤1) C．y＝3＋3x(x≥0) D．y＝3－3x(x≤1) 答案 D 解析 ∵0≤x<3，∴y≤1.又3－x＝3y，∴x＝3－3y.∴y＝log3(3－x)的反函数为y＝3－3x，x≤1. 知识点二 反函数的性质 3.如图，已知函数f(x)＝3x－1，则它的反函数y＝f－1(x)的大致图像是( ) 答案 C 解析 由f(x)＝3x－1可得f－1(x)＝log3x＋1，∴图像为C. 4．若函数y＝f(x)是函数y＝g(x)＝a2x的反函数(a>0，且a≠1)，且f(4)＝1，则a＝_____. 答案 2 解析 由y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，且f(4)＝1得g(1)＝4，所以a2＝4，a＝2. 5．若函数y＝f(x)的图像过点(0,1)，则函数g(x)＝f(4－x)的反函数的图像过点_____． 答案 (1,4) 解析 ∵y＝f(x)的图像过点(0,1)， ∴f(4－x)的图像过点(4,1)， ∴g(x)＝f(4－x)的反函数的图像过点(1,4)． 知识点三 指数函数与对数函数的综合应用 答案 A 解析 7．已知函数f(x)＝log2(1－2x)． (1)求函数f(x)的定义域和值域； (2)求证函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称． 解 (1)要使函数f(x)＝log2(1－2x)有意义，则1－2x>0， 即2x<1. 故x<0，此时0<1－2x<1， ∴f(x)＝log2(1－2x)<0， 故函数f(x)的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)． (2)证明：由y＝f(x)＝log2(1－2x)可得1－2x＝2y，解得x＝log2(1－2y)，故原函数的反函数为y＝f(x)＝log2(1－2x)，与原函数相同，所以函数f(x)的图像关于直线y＝x对称． 易错点 对反函数的定义理解不清而致误 8.已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，且g(x)的图像过定点(1,2018)，则y＝f－1(x＋1)的图像过定点_____． 易错分析 本题容易误认为f(x＋1)与f－1(x＋1)互为反函数． 答案 (0,2019) 正解 ∵g(x)的图像过定点(1,2018)， ∴f(x＋1)的图像过定点(2018,1)． 又∵f(x)的图像可以看作由f(x＋1)的图像向右平移一个单位长度得到的，∴f(x)过定点(2019,1)． 又∵f(x)与f－1(x)互为反函数， ∴f－1(x)的图像过定点(1,2019)． 再结合f－1(x)与f－1(x＋1)的关系可知， f－1(x＋1)的图像过定点(0,2019)． 一、选择题 1．函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数是( ) A．y＝1＋log2x(x>0) B．y＝log2(x－1)(x>1) C．y＝－1＋log2x(x>0) D．y＝log2(x＋1)(x>－1) 答案 C 解析 由y＝2x＋1?x＋1＝log2y?x＝－1＋log2y，又因原函数的值域{y|y>0}，故其反函数是y＝－1＋log2x(x>0)． 2．当0
0，且a≠1)的反函数的图像过点(，a)，则a的值为( ) A．2 B. C．2或 D．3 答案 B 解析 解法一：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数即y＝logax，故y＝logax的图像过点(，a)，则a＝loga＝. 解法二：由题意得，函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图像过点(，a)，则函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像过点(a，)，即aa＝＝，故a＝. 4．已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像只能是( ) 答案 B 解析 解法一：首先，曲线y＝ax只可能在上半平面，y＝loga(－x)只可能在左半平面，从而排除A，C. 其次，从单调性来看，y＝ax与y＝loga(－x)的增减性正好相反，又可排除D.∴应选B. 解法二：若0