第2讲 不等式的基本方法- 反证法与放缩法

课件35张PPT。三　反证法与放缩法第二讲　证明不等式的基本方法学习目标 1.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式. 2.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式．问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一　反证法思考　什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？答案　(1)反证法就是在否定结论的前提下推出矛盾，从而说明结论是正确的． (2)矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知的定义、定理矛盾．梳理　反证法 (1)反证法的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行 ，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明 不正确，从而证明原命题成立． (2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明 ，从而断定原命题成立．正确的推理假设假设不成立知识点二　放缩法思考　放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？答案　①不等式的传递性；②等量加(减)不等量为不等量．梳理　放缩法 (1)放缩法证明的定义 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 或 ，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法． (2)放缩法的理论依据 ①不等式的传递性． ②等量加(减)不等量为 ． ③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．放大缩小不等量题型探究类型一　反证法证明不等式命题角度1　证明“否定性”结论即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．证明(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．证明　假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立， 则由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1； 同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾． 故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．证明反思与感悟　当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾．跟踪训练1　设0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2， 求证：(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b不可能都大于1.证明证明　假设(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b都大于1， 即(2－a)·c＞1，(2－b)·a＞1，(2－c)·b＞1， 则(2－a)·c·(2－b)·a·(2－c)·b＞1， ∴(2－a)(2－b)(2－c)·abc＞1. ① ∵0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2，同理(2－b)·b≤1，(2－c)·c≤1， ∴(2－a)·a·(2－b)·b·(2－c)·c≤1， ∴(2－a)(2－b)(2－c)·abc≤1，这与①式矛盾． ∴(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b不可能都大于1.命题角度2　证明“至少”“至多”型问题例2　已知f(x)＝x2＋px＋q， 求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；证明　f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.证明则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2， 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2，矛盾，证明反思与感悟　(1)当欲证明的结论中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法证明． (2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．证明证明　假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， ∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，因此假设不成立． ∴a，b，c中至少有一个大于0.类型二　放缩法证明不等式例3　已知实数x，y，z不全为零，求证：证明由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得反思与感悟　(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，谨慎地采取措 ... ...