第1章 1.2.2 组合(2)

课件53张PPT。第一章———计数原理1.2.2　组合(二)[学习目标] 1.理解组合的两个性质，并能解决简单组合数问题. 2.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接] 1.满足什么条件的两个组合是相同的组合？ 答　如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，就是相同的组合，否则就是两个不相同的组合(即使只有一个元素不同).2.组合数公式的两种形式在应用中如何选择？[预习导引] 1.组合的有关概念 从n个不同元素中，任意 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.取出m(m≤n)个元素并成一组组合数，用符号 表示.其公式为＝(n，m∈N＋，m≤n).特别地3.组合应用题的解法 (1)无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、求值；四、作答. (2)有限制条件的组合应用题的解法 常用解法有：直接法、间接法.可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类.要点一　组合数的两个性质 例1　计算下列各式的值.＝161 700.规律方法　第一个性质常用于m> 时组合数的计算，该性质可较大幅度地减少运算量；第二个性质常用于恒等式变形和证明等式.要点二　分组、分配问题 例2　6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；因此分为三份，每份两本一共有15种方法.(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.所以一共有90＋360＋90＝540种方法.规律方法�———�分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.跟踪演练2　有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内， (1)共有多少种放法？ 解　一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44＝256(种).(2)恰有1个盒内不放球，有多少种放法？ 解　为保证“恰有1个盒子不放球”，先从4个盒子中任意拿去1个，即将4个球分成2,1,1的三组，有C 种分法；然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球，2个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理知，共有放法 ＝144(种).(3)恰有1个盒内放2个球，有多少种放法？ 解�———�恰有1个盒内放2个球”， 即另外的3个盒子放剩下的2个球，而每个盒子至多放1个球， 即另外3个盒子中恰有1个空盒. 因此，“恰有1个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事，故也有144种放法.(4)恰有2个盒内不放球，有多少种放法？ 解　先从4个盒子中任意拿走2个，有C 种拿法，问题转化为：“4个球，2个盒子，每盒必放球，有几种放法？”，从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类：第1类，可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有 种放法；由分步乘法计数原理得“恰有2个盒子不放球”的放法有C ×14＝84(种).要点三　与几何图形有关的组合问题 例3　已知平面α∥平面β，在α内有4个点不共线，在β内有6个点不共线. (1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？ 解　所作出的平面有三类：所以最多可作98个不同的平面.(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ 解　所作的三棱锥有三类：所以最多可构成194个三棱锥.(3)上述三棱锥中最多可 ... ...