课件29张PPT。四 直角三角形的射影定理121.射影 (1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影. (2)线段在直线上的正射影:一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫做这条线段在这条直线上的正射影. (3)射影:点和线段的正射影简称为射影.12做一做1 如图所示,AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为点D,E.指出点A,B,C,D,E,F,G和线段AB,AC,AF,FG在直线BC上的射影.? 解由AD⊥BC,EF⊥BC可知,点A在直线BC上的射影是点D;点B在直线BC上的射影是点B,点C在直线BC上的射影是点C,点D在直线BC上的射影是点D,点E,F,G在直线BC上的射影都是点E;线段AB在直线BC上的射影是DB,线段AC在直线BC上的射影是DC,线段AF在直线BC上的射影是DE,线段FG在直线BC上的射影是点E.122.直角三角形的射影定理 (1)直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项. (2)符号表示:如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,则①AC2=AD·AB;②BC2=BD·AB;③CD2=AD·DB.1212做一做2 如图,在Rt△ABC中,∠C是直角,CD⊥AB于点D,若AD=4,BD=2,则CD= ,AC= ,BC= .?12思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)一条线段的射影不可能是点. ( ) (2)在Rt△ABC中,∠C是直角,CD⊥AB于点D,则AD2=AC·AB. ( ) (3)如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项,那么这个三角形是直角三角形. ( ) 答案(1)× (2)× (3)√探究一探究二探究三思维辨析探究一利用射影定理解决计算问题? 【例1】 如图,D为△ABC中BC边上的一点,∠CAD=∠B,若AD=6,AB=10,BD=8,求CD的长.分析由条件知∠ADB=90°,即AD⊥BC,进一步可得∠BAC=90°,由射影定理求CD的长. 解在△ABD中,AD=6,AB=10,BD=8,满足AB2=AD2+BD2,故∠ADB=90°,即AD⊥BC. ∵∠CAD=∠B,且∠C+∠CAD=90°,∴∠C+∠B=90°, ∴∠BAC=90°.在Rt△BAC中,AD⊥BC,由射影定理可知,AD2=BD·CD,即探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究二利用射影定理解决证明问题? 【例2】如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,DF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E.证明: (1)AB·AC=AD·BC; (2)AD3=BC·BE·CF.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析变式训练2 如图所示,CD垂直平分AB,点E在CD上,DF⊥AC于点F,DG⊥BE于点G,求证:AF·AC=BG·BE.? 证明∵CD垂直平分AB, ∴△ACD和△BED均为直角三角形,且AD=DB. 又DF⊥AC,DG⊥BE, ∴AD2=AF·AC,DB2=BG·BE, ∴AF·AC=BG·BE.探究一探究二探究三思维辨析探究三利用射影定理解决综合问题? 【例3】 如图,在△ABC中,D,F分别在AC,BC上,且AB⊥AC,AF⊥BC,BD=DC=FC=1,求AC的长. 分析由题意可得,△ABC是直角三角形,AF为斜边上的高线,CF是直角边AC在斜边上的射影,AC为所求,已知BD=DC=1,即△BDC是等腰三角形.因此,可以过点D作DE⊥BC.由于DE,AF均垂直于BC,可以利用比例线段的性质,逐步等价转化求得AC的长.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析变式训练3 如图所示,AD,BE是△ABC的两条高,DF⊥AB,垂足为点F,直线FD交BE于点G,交AC的延长线于点H,求证:DF2=GF·HF.?探究一探究二探究三思维辨析错用射影定理致误 典例若CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试确定DB和CD的长. 错解∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴由射影定理得AD2=AC·AB=20×25=500,探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析变式训练 在Rt△ACB中,∠C=90°,CD⊥AB于点D.若AC ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
