高中数学苏教版必修1讲义：3.2.2对数函数（第1课时）对数函数的概念、图象与性质

第1课时　对数函数的概念、图象与性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解对数函数的概念. 2.掌握对数函数的图象和性质．(重点) 3.能够运用对数函数的图象和性质解题．(重点) 4.了解同底的对数函数与指数函数互为反函数．(难点) 通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象数学的核心素养. 1．对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质 a>1 00且a≠1)和指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称． 一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f －1(x)． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数函数的定义域为R.(　　) (2)y＝log2x2与logx3都不是对数函数． (　　) (3)对数函数的图象一定在y轴右侧． (　　) (4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．对数函数f(x)的图象过点(4,2)，则f(8)＝_____. 3　[设f(x)＝loga x，则loga 4＝2，∴a2＝4，∴a＝2， ∴f(8)＝log2 8＝3.] 3．(1)函数f(x)＝的定义域是_____． (2)若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为_____． (3)若g(x)与f(x)＝2x互为反函数，则g(2)＝_____. (1){x|x>－1且x≠1}　(2)(－∞，0)　(3)1　[(1)?x>－1且x≠1. (2)由题意得1－2a＞1，所以a＜0. (3)f(x)＝2x的反函数为y＝g(x)＝log2 x， ∴g(2)＝log2 2＝1.] 对数函数的概念 【例1】　判断下列函数是否是对数函数？并说明理由． ①y＝logax2(a＞0，且a≠1)； ②y＝log2x－1； ③y＝2log8x； ④y＝logxa(x＞0，且x≠1)． 思路点拨：依据对数函数的定义来判断． [解]　①中真数不是自变量x，∴不是对数函数； ②中对数式后减1， ∴不是对数函数； ③中log8x前的系数是2，而不是1， ∴不是对数函数； ④中底数是自变量x，而不是常数a， ∴不是对数函数． 一个函数是对数函数，必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1； (2)底数为大于0且不等于1的常数； (3)对数的真数仅有自变量x. 1．对数函数f(x)满足f(2)＝2，则f ＝_____. －2　[设f(x)＝loga x(a>0且a≠1)， 由题知f(2)＝loga 2＝2，故a2＝2，∴a＝或－(舍)． ∴f ＝log ＝－2.] 对数函数的定义域问题 【例2】　求下列函数的定义域： (1)f(x)＝logx－1(x＋2)；(2)f(x)＝； (3)f(x)＝；(4)f(x)＝(a>0且a≠1)． 思路点拨：根据对数式中底数、真数的范围，列不等式(组)求解． [解]　(1)由题知解得x>1且x≠2， ∴f(x)的定义域为{x|x>1且x≠2}． (2)由 得??0≤x<1. ∴函数的定义域为[0,1)． (3)由题知? ∴x>1且x≠2. 故f(x)的定义域为{x|x>1且x≠2}． (4)? 当a>1时，－a<－1. 由①得x＋aa. ∴x>0. ∴f(x)的定义域为{x|x>0}． 故所求f(x)的定义域是： 当01时，x∈(－a,0)． 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式. 2．(1)函数y＝ln (1－2x)的定义域为_____． (2)函数y＝的定义域为_____． (1)　(2)　[(1)由题知解得0≤x<，∴定义域为. (2)由题知解得x>，∴定义域为{x|x>}.] 比较对数式的大小 [探究问题] 1．在同一坐标系中作出y＝log2 x，y＝logx，y＝lg x，y＝log0.1 x的图象．观察图象，从底数的大小及相对 ... ...