第1章-2 角的概念的推广学案

§2　角的概念的推广 内容要求　1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(重点).2.掌握终边相同的角的表示方法(难点)． 知识点1　角的概念 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置 OA旋转到另一个位置OB所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边． (2)按照角的旋转方向，分为如下三类： 类型 定义 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角 【预习评价】　 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√) (2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√) (3)没有作任何旋转就没有角对应(×) (4)终边和始边重合的角是零角(×) (5)经过1小时时针转过30°(×) 知识点2　象限角 如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 【预习评价】 1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？ 提示　锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角． 2．第二象限的角比第一象限的角大吗？ 提示　不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°. 知识点3　终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和． 【预习评价】　 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)终边相同的角一定相等(×) (2)相等的角终边一定相同(√) (3)终边相同的角有无数多个(√) (4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×) 题型一　角的概念的推广 【例1】　写出下图中的角α，β，γ的度数． 解　要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°. 规律方法　1.理解角的概念的三个“明确” 2．表示角时的两个注意点 (1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”． (2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负． 【训练1】　(1)图中角α＝_____，β＝_____； (2)经过10 min，分针转了_____． 解析　(1)α＝－(180°－30°)＝－150° β＝30°＋180°＝210°. (2)分针按顺时针转过了周角的，即－60°. 答案　(1)－150°　210°　(2)－60° 题型二　终边相同的角 【例2】　已知α＝－1 910°. (1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°. 解　(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角． (2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)， 取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角， 即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 所以θ为－110°，－470°. 规律方法　将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值． 【训练2】　写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合． 解　终边在直线OM上的角的集合为M＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}． 同理可得终边在直线ON上的角的集合为{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}， 所以终 ... ...