第3章-1 同角三角函数的基本关系学案

§1　同角三角函数的基本关系 内容要求　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2 x＝1，＝tan x (重点).2.会运用以上两个基本关系式进行求值、化简、证明(难点)． 知识点　同角三角函数的基本关系 【预习评价】 1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　) A．－ B．－ C．  D.  答案　A 2．已知α是第四象限角，且tan α＝－，则sin α＝(　　) A．－ B. C. D．－ 答案　A 题型一　利用同角基本关系式求值 【例1】　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 解　∵cos α＝－<0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角， (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝ ＝ ＝， tan α＝＝＝－. (2)当α是第三象限角时，则 sin α＝－＝－，tan α＝. 规律方法　同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用． 【训练1】　已知sin α＝m(|m|≤1)，求tan α的值． 解　当m＝0时，cos α＝±1，tan α＝＝0； 当m＝±1时，α的终边在y轴上，cos α＝0，tan α无意义； 当α在第一、四象限时，cos α＞0， ∴cos α＝＝ ∴tan α＝＝； 当α在第二、三象限时，cos α＜0， ∴cos α＝－＝－. ∴tan α＝＝＝. 题型二　已知正切求值 【例2】　已知tan α＝2.求： (1)； (2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α. 解　(1)原式＝＝＝－2. (2)原式＝ ＝＝＝1. 规律方法　知切求弦常见的有两类： 1．求关于sin α、cos α的齐次式值的问题，如果cos α≠0，则可将被求式化为关于tan α的表达式，然后整体代入tan α的值，从而完成被求式的求值问题． 2．若不是sin α，cos α的齐次式，可利用方程组的消元思想求解．如果已知tan α的值，求形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的值，注意将分母的1化为sin2α＋cos2α，将其代入，再转化为关于tan α的表达式后求值． 【训练2】　已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1. 求：(1)tan α； (2). 解　（1）由条件得 ＝1 ?＝1 ?4tan2α－3tan α－1＝0 ?tan α＝－或tan α＝1. (2)原式＝， 当tan α＝－时，原式＝； 当tan α＝1时，原式＝. 方向1　三角函数式的化简 【例3－1】　化简tan α，其中α是第二象限角． 解　因为α是第二象限角， 所以sin α＞0，cos α＜0. 故tan α ＝tan α ＝tan α ＝· ＝· ＝－1. 方向2　三角恒等式的证明 【例3－2】　求证：＝. 证明　左边＝＝ ＝＝＝右边，所以等式成立． 方向3　利用sin α±cos α与sin αcos α的关系解题 【例3－3】　已知在△ABC中，sin A＋cos A＝. (1)求sin Acos A的值； (2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求sin A－cos A的值． 解　(1)∵sin A＋cos A＝， 两边平方得1＋2sin Acos A＝， ∴sin Acos A＝－. (2)由(1)sin Acos A＝－＜0，且0＜A＜π，可知cos A＜0，∴角A为钝角， ∴△ABC是钝角三角形． (3)(sin A－cos A)2 ＝1－2sin Acos A ＝. 由(2)知sin A－cos A＞0， ∴sin A－cos A＝. 规律方法　1.三角函数式化简的三种常用技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 2．证明三角恒等式的原则是由繁到简．常用的方法有： (1)从一边开始，证得它等于另一边； (2)证明左右两边都等于同一个式子； (3)变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式. 课堂达标 1．已知sin α＝，α∈(0，π)，则tan ... ...