9.2 等差数列(4)学案

9.2　等差数列(四) [学习目标]　1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an. [知识链接] 如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，如何求它的通项公式？如果一个数列的前n项和的公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？ [预习导引] 1．数列中an与Sn的关系 对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为 an＝ 2．由数列的Sn判断数列的类型 由于等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d＝n2＋n.令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn.所以Sn是关于n的常数项为0的二次的函数，反过来，对任意数列{an}，如果Sn是关于n的常数项为0的二次的函数，那么这个数列也是等差数列． 3．等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定． (2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点一　利用Sn与an的关系求an 例1　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 解　根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an与Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1)， 可知，当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n－① 当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式． ∴数列{an}的通项公式为an＝2n－. 由此可知：数列{an}是首项为，公差为2的等差数列． 规律方法　已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．若不符合，则用分段函数表示． 跟踪演练1　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an. 解　当n＝1时，a1＝S1＝3； n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1. 当n＝1时，代入an＝2·3n－1得a1＝2≠3. ∴an＝ 要点二　等差数列前n项和的最值 例2　已知等差数列5,4，3，…的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值． 解　由题意知，等差数列5,4，3，…的公差为－，所以Sn＝5n＋＝－2＋. 于是，当n取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值. (另解)an＝a1＋(n－1)d＝5＋(n－1)×＝－n＋. 令an＝－n＋≤0，解得n≥8，即a8＝0，a9<0.所以前n项和从第9项开始减小，而第8项为0，所以前7项和或前8项和最大． 规律方法　在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次的函数，也可借助二次函数的图象或性质求解． 跟踪演练2　已知数列{an}的通项公式是an＝－n2＋12n－32，其前n项和是Sn，则对任意的n>m(其中n、m∈N*)，Sn－Sm的最大值是_____． 答案　10 解析　由an＝－n2＋12n－32＝0，得n＝4或n＝8，即a4＝a8＝0， 又函数f(n)＝－n2＋12n－32的图象开口向下，所以数列前3项为负， 当n>8时，数列中的项均为负数， 在m0；当n≥35时，an<0. (1)当n≤34时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2 ... ...