9.3 等比数列(1)学案

9.3　等比数列(一) [学习目标]　1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程． [知识链接] 下列判断正确的是_____． (1)从第2项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列 (2)从第2项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列 (3)等差数列的公差d可正可负，且可以为零 (4)在等差数列中，an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*) 答案　(1)(3)(4) [预习导引] 1．等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．等比中项的概念 如果a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． 3．等比数列的通项公式 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，该等比数列的通项公式为an＝a1qn－1. 要点一　等比数列通项公式的基本量的求解 例1　在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n； 解　(1)因为所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2. (2)方法一　因为 由得q＝，从而a1＝32，又an＝1 所以32×n－1＝1， 即26－n＝20，所以n＝6. 方法二　因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，知n＝6. 规律方法　a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q. 跟踪演练1　(1)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n. (2)在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an. 解　(1)由an＝a1·qn－1，得＝n－1， 即n－1＝3，得n＝4. (2)因为 由得q＝或q＝2. 当q＝时，a1＝－16； 当q＝2时，a1＝1. ∴an＝－16·n－1或an＝2n－1. 要点二　等比中项的应用 例2　等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于多少？ 解　由题意知a3是a1和a9的等比中项， ∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d， ∴＝＝. 规律方法　由等比中项的定义可知：＝?G2＝ab?G＝±.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G2＝ab，则＝，即a，G，b成等比数列．所以a，G，b成等比数列?G2＝ab(ab≠0)． 跟踪演练2　已知a，－，b，－，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值． 解　由题意知b2＝×＝6， ∴b＝±. 当b＝时，ab＝2，解得a＝； bc＝2＝10，解得c＝7. 同理，当b＝－时，a＝－，c＝－7. 综上所述，a，b，c的值分别为，，7或－，－，－7. 要点三　等比数列的判定 例3　数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)． (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； (2)求an. 解　(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4， a3＝3a2－2×3＋3＝－15. 下面证明{an－n}是等比数列： 证明由a2＝－4，a3＝－15，可知an≠n. ＝ ＝＝3(n＝1,2,3，…)． 又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知an－n＝－2·3n－1， ∴an＝n－2·3n－1. 规律方法　判断一个数列是否是等比数列的常用方法有： (1)定义法：＝q(q为常数且不为零)?{an}为等比数列． (2)等比中项法：a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)?{an}为等比数列． (3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)?{an}为等比数列． 跟踪演练3　已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式． 证明　∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1. ∴an≠1，an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an. ∴an＋1＝2an， 又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1 ... ...