10.2 一元二次不等式(二) [学习目标] 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法. [知识链接] 下列各命题正确的有_____. (1) (x－1)(2－x)≤0的解集是{x|1≤x≤2}； (2)x2<9的解集是{x|－3
0的解集是{x|x<1，或x>3}； (5)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数的条件是a>0且Δ＝b2－4ac<0. 答案 (2)(3)(4) 解析 对于(1)，(x－1)(2－x)≤0?(x－1)(x－2)≥0，所以解集是{x|x≤1，或x≥2}故不正确；(2)(3)显然正确；对于(4)，>0?(x－1)(x－3)>0，所以解集是{x|x<1，或x>3}；对于(5)，当a＝b＝0且c>0也满足题意，故不正确. [预习导引] 1.分式不等式的同解变形法则： (1)>0?f(x)·g(x)>0； (2)≤0? (3)≥a?≥0. 2.一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即： ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立? ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立? (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即： k≥f(x)恒成立?k≥f(x)max； k≤f(x)恒成立?k≤f(x)min. 要点一 分式不等式的解法 例1 解下列不等式. (1)<0； (2)≤1； (3)<0. 解 (1)<0?(x－3)(x＋2)<0?－20， 此不等式等价于(x－1)>0， 解得x<－或x>1， ∴原不等式的解集为. 规律方法 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型>0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可. 跟踪演练1 解下列不等式. (1)≥0； (2)>1. 解 (1)原不等式可化为 解得∴x<－或x≥， ∴原不等式的解集为. (2)方法一 原不等式可化为或 解得或∴－30，化简得>0，即<0， ∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－30时，g(x)是增函数， ∴g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，∴00， 又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<. ∵函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，∴只需m<即可. 规律方法 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有二： (1)考虑能否进行参数分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式； (2)若参数不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次、二次函数)，并结合图象建立参数的不等式求解. 跟踪演练2 当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R? 解 ①当a2－1＝0时，a＝1或－1. 若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立. 若a＝－1，则原不等式为2x－1<0，即x<，不合题意，舍去. ②当a2－1≠0时，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是解得－
