§1 正整数指数函数 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解正整数指数函数模型的实际背景． 2．了解正整数指数函数的概念．(重点) 3．理解具体的指数函数的图像特征．(重点) 4．会用正整数指数函数解决某些实际问题．(难点) 1.通过学习正整数指数函数的概念，提升数学抽象能力． 2．通过利用正整数指数函数解决某些实际问题，培养数学运算素养. 正整数指数函数的概念 阅读教材P61～P63整节有关内容，完成下列问题． (1)一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋. (2)正整数指数函数的图像特点 前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点． (3)当0
1时，y＝ax(x∈N＋)是增函数． 思考：(1)y＝3×2x，x∈N＋是正整数指数函数吗？ (2)比较，，的大小，你有什么发现？ [提示] (1)不是.2x的系数是3，不是1. (2)>>，发现：y＝，x∈N＋是减函数． 1．函数f(x)＝ (x∈N＋)，则f(2)＝( ) A. B． C. D． D [f(2)＝＝.] 2．给出下列函数：①y＝πx；②y＝4－x；③y＝(－)x；④y＝x2，当x∈N＋时，是正整数指数函数的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 B [只有③④不是正整数指数函数，故选B.] 3．若2x＝64，则x＝_____. 6 [由2x＝64，得2x＝26，∴x＝6.] 4．函数y＝2x，x∈{1,2,3,4}的值域是_____． {2,4,8,16} [21＝2,22＝4,23＝8,24＝16，故其值域为{2,4,8,16}．] 正整数指数函数的定义 【例1】 (1)下列函数中是正整数指数函数的是( ) A．y＝10x＋1，(x∈N＋) B．y＝(－2)x，(x∈N＋) C．y＝5·2x，(x∈N＋) D．y＝x，(x∈N＋) (2)函数y＝(a2－3a＋3)ax是正整数指数函数，则a＝_____. (1)D (2)2 [(1)A中y＝10x＋1的指数为x＋1，而不是x，故不是正整数指数函数； B中y＝(－2)x的底数－2<0，故不是正整数指数函数； C中y＝5·2x的系数为5，不是1，故不是正整数指数函数； D中y＝符合正整数指数函数的定义． (2)由正整数指数函数定义知解得∴a＝2.] 1．正整数指数函数解析式的基本特征：ax前面的系数必须是1，自变量x∈N＋，且x在指数的位置上，底数a是大于零且不等于1的常数． 2．要注意正整数指数函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)与幂函数y＝xα的区别． 1．正整数指数函数的图像经过点，则此函数的解析式为y＝_____，定义域为_____． y＝ x∈N＋ [把代入y＝ax(a>0，且a≠1)，得＝a2， 所以a＝，y＝，x∈N＋.] 正整数指数函数的图像与性质 【例2】 (1)画出函数y＝ (x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性； (2)画出函数y＝3x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性． [思路探究] 使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了． [解] (1)函数y＝ (x∈N＋)的图像如图①所示，从图像可知，函数y＝(x∈N＋)是单调递减的． (2)函数y＝3x(x∈N＋)的图像如图②所示，从图像可知，函数y＝3x(x∈N＋)是单调递增的． ① ② 1．正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的． 2．当01时，y＝ax(x∈N＋)是增函数． 2．(1)函数y＝，x∈N＋的图像是( ) A．一条上升的曲线 B．一条下降的曲线 C．一系列上升的点 D．一系列下降的点 (2)函数f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)在[1,3]上是增加的，且最大值与最小值的差为a，则a＝_____. (1)D (2) [(1)由于x∈N＋且底数为，所以函数y＝x，x∈N＋的图像是一系列下降的点． (2)因为f(x)在[1,3]上是增加的， 所以a>1，所以f(x)min＝f(1)＝a， ... ... 
