2.2.2 反证法学案

2.2.2　反证法 学习目标　1.了解间接证明的基本方法———反证法.2.理解反证法的基本模式、思考过程和特点.3.结合已学过的数学实例，理解反证法的推理过程及其证明数学命题的一般步骤，体会反证法在数学证明中的作用.4.通过具体实例，体会直接证明与间接证明的区别和联系． 知识点一　反证法的定义 思考　在用反证法推出矛盾的推导过程中，可以作为条件使用的是(　　) ①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 答案　C 梳理　一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种基本方法． 知识点二　反证法的理论依据 思考　反证法解题的实质是什么？ 答案　否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确． 梳理　由四种命题的相互关系可知，原命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题，具有同真同假性，即等价性．根据这一结论，要证原命题“若p，则q”为真，可以改证逆否命题“若非q，则非p”为真，这种证明方法即为反证法．也就是说，若非q(即否定结论，假设结论的反面成立)，则非p(经过推理论证，得出与题设条件相矛盾的结论)，从而根据等价性原则，肯定原命题成立． 知识点三　反证法的一般步骤 思考　(1)反证法常见的主要矛盾有哪些？ (2)反证法适用范围主要有哪些方面？ 答案　(1)常见的主要矛盾有三类：与已知条件矛盾，与假设矛盾(自相矛盾)，与定义、定理、公理及事实矛盾． (2)一般地，以下几种情况宜用反证法：结论本身是以否定形式出现的命题，结论是以“至多”“至少”形式出现的命题，关于唯一性、存在性的问题，或结论的反面要比原命题更易证明的命题等等． 梳理　反证法的证题步骤 (1)反设：假设所要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立． (2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定理、公理、定义、事实矛盾等． (3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而证明了结论成立． 1．反证法属于间接证明问题的方法．(　√　) 2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．(　×　) 3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．(　√　) 类型一　反证法概念的理解 例1　反证法是(　　) A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法 B．对其否命题的证明 C．对其逆命题的证明 D．分析法的证明方法 考点　反证法及应用 题点　如何正确进行反设 答案　A 解析　反证法是先否定结论，在此基础上，经过正确的推理，最后得出矛盾，从而证明了原命题成立． 反思与感悟　对于反证法，其实质是先否定结论，根据否定后的结论，连同题目条件，推出矛盾，从而侧面说明原命题成立． 跟踪训练1　(1)命题“在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是(　　) A．ab”的否定应为“a＝b或a