第1讲 2 第1课时 绝对值三角不等式学案

二　绝对值不等式 第1课时　绝对值三角不等式 学习目标　1.进一步理解绝对值的意义.2.理解并掌握绝对值三角不等式(定理1)及其几何解释，理解多个实数的绝对值不等式(定理2).3.会用定理1、定理2解决简单的绝对值不等式问题． 知识点　绝对值三角不等式 思考1　实数a的绝对值|a|的几何意义是什么？ 答案　|a|表示数轴上以a为坐标的点A到原点的距离． 思考2　代数式|x＋2|＋|x－3|的几何意义是什么？ 答案　表示数轴上的点x到点－2,3的距离之和． 梳理　(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 几何解释：用向量a，b分别替换a，b. ①当a与b不共线时，有|a＋b|＜|a|＋|b|，其几何意义为两边之和大于第三边； ②若a，b共线，当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b反向时，|a＋b|＜|a|＋|b|； 由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式． ③定理1的推广：如果a，b是实数，那么||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. (2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|. 当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C， 当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|. 当点B不在点A，C之间时： ①点B在A或C上时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|； ②点B不在A，C上时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|. 应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值． 类型一　含绝对值不等式的证明 例1　设函数f(x)＝x2－2x，实数a满足|x－a|＜1. 求证：|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3. 证明　∵f(x)＝x2－2x，且|x－a|＜1， ∴|f(x)－f(a)|＝|x2－2x－a2＋2a| ＝|(x＋a)(x－a)－2(x－a)| ＝|(x－a)(x＋a－2)|＝|x－a|·|x＋a－2| ＜|x＋a－2|＝|(x－a)＋(2a－2)| ≤|x－a|＋|2a－2|＜1＋|2a|＋|2|＝2|a|＋3， ∴|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3. 反思与感悟　两类含绝对值不等式的证明技巧 一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明． 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明． 跟踪训练1　已知|A－a|＜，|B－b|＜，|C－c|＜，求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＜s. 证明　∵|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)| ＝|(A－a)＋(B－b)＋(C－c)| ≤|(A－a)＋(B－b)|＋|C－c| ≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|， 又∵|A－a|＜，|B－b|＜，|C－c|＜， ∴|A－a|＋|B－b|＋|C－c|＜＋＋＝s， ∴|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＜s. 类型二　利用绝对值三角不等式求最值 例2　(1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值； (2)如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，求参数a的取值范围． 解　(1)方法一　||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4， ∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4，∴ymax＝4，ymin＝－4. 方法二　把函数看作分段函数， y＝|x－3|－|x＋1|＝ ∴－4≤y≤4，∴ymax＝4，ymin＝－4. (2)只要a不大于|x－3|＋|x－4|的最小值， 则|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集， 而|x－3|＋|x－4|＝|x－3|＋|4－x|≥|x－3＋4－x|＝1， 当且仅当(x－3)(4－x)≥0，即3≤x≤4时等号成立． ∴当3≤x≤4时，|x－3|＋|x－4|取得最小值1. ∴a的取值范围为(－∞，1]． 反思与感悟　(1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式． (2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键． 跟踪训练2　(1)已知x∈R，求f(x)＝|x＋1|－|x－2|的最值； (2)若|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，求a的取值范围． 解　(1)∵|f(x)|＝||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2 ... ...