第2章 推理与证明章末复习学案

章末复习 学习目标　1.理解合情推理与演绎推理的区别与联系，会利用归纳与类比推理进行简单的推理.2.加深对直接证明和间接证明的认识，会应用其解决一些简单的问题． 1．合情推理 (1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)类比推理：由特殊到特殊的推理． (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． 2．演绎推理 (1)演绎推理：由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提———已知的一般原理． ②小前提———所研究的特殊情况． ③结论———根据一般原理，对特殊情况作出的判断． 3．直接证明和间接证明 (1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法． ①综合法是从已知条件推出结论的证明方法． ②分析法是从结论追溯到条件的证明方法． (2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法． 1．归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　×　) 2．“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(　√　) 3．综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　×　) 4．反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　×　) 类型一　合情推理的应用 例1　(1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和并猜想f(n)(n∈N＋)与组的编号数n的关系式为_____． 答案　f(n)＝n3 解析　由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33， 13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3. (2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则 ①a2＋b2＝c2； ②cos2A＋cos2B＝1； ③Rt△ABC的外接圆半径为r＝. 把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明． 解　选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象． ①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S＋S＋S＝S2. ②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. ③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝. 下面对①的猜想进行证明． 如图在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC，平面ABD，平面ACD为三个两两垂直的侧面． 设AB＝a，AC＝b，AD＝c， 则在Rt△ABC中，BC＝＝，SRt△ABC＝ab. 同理，CD＝，SRt△ACD＝bc. BD＝，SRt△ABD＝ac. ∴S△BCD＝. 经检验，S＋S＋S＝S. 即所证猜想为真命题． 反思与感悟　(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法． (2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． 跟踪训练1　如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成． 通过观察可以发现：第4个图形中有_____根火柴棒；第n个图形中有_____根火柴棒． 考点　归纳推理的应用 题点　归纳推理在图形中的应用 答案　13　3n＋1 解析　设第n个图形中火柴棒的根数为an，可知a4＝13. 通过观察得到递推关系式an－an－1＝3(n≥2，n∈N＋)， 所以an＝3n＋1. 类型二　综合法与分析法 例2　试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin2α≤. 考点　分析法和综合法的综合应用 题点　分析法和综合法的综合应用 证明　分析法 要证2sin2α≤成立， 只需证4sinαcosα≤， ∵α∈(0，π)，∴sinα ... ...