第三章 §1 A级 基础巩固 一、选择题 1．若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋的值为( B ) A．－2 B．2 C．±2 D． [解析] tan θ＋＝＋＝＝＝2. 2．若1＋sin θ·＋cos θ·＝0(θ为象限角)，则θ所在的象限是( C ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [解析] 由1＋sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＝0，知当sin θ<0，cos θ<0时，上式成立．此时θ为第三象限角． 3．已知tan x>0且sin x＋cos x>0，那么x位于( A ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [解析] ∵tan x>0，∴>0，∴sin x，cos x同号， 又∵sin x＋cos x>0，∴sin x>0，cos x>0， ∴x位于第一象限． 4．化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是( C ) A． B． C．1 D． [解析] 原式＝sin 2β＋cos 2β(cos 2β＋sin 2β)＝sin 2β＋cos 2β＝1. 5．已知<α<π，sin α＝，则tan α的值为( B ) A． B．－ C．± D．－ [解析] ∵<α<π，∴cos α<0， ∴cos α＝－＝－＝－. ∴tan α＝＝－. 6．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于( D ) A．2 B．－2 C．2或－2 D．0 [解析] ∵α的终边在直线y＝－x上，∴tan α＝－1， ∴原式＝＋， (1)当α在第二象限时，原式＝－tan α＋tan α＝0； (2)当α在第四象限时，原式＝tan α－tan α＝0. 二、填空题 7．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是__－1__. [解析] 由已知可得tan α＝－2， 2sin αcos α－cos 2 α＝＝＝＝－1. 8．已知sin θ－cos θ＝，则sin 3θ－cos 3θ＝____. [解析] ∵sin θ－cos θ＝，∴sin θcos θ＝， ∴sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝＝. 三、解答题 9．化简下列各式． (1)； (2)sin 2αtan α＋2sin αcos α＋. [解析] (1)原式 ＝ ＝＝＝1. (2)原式＝sin 2α·＋2sin αcos α＋cos 2α· ＝＝ ＝. 10．已知θ∈(0,2π)且sin θ、cos θ是方程x2－kx＋k＋1＝0的两个实数根，求k和θ. [解析] 由题意知 由①得1＋2sin θcos θ＝k2， 把②代入上式得k2－2k－3＝0， 解得k＝3或k＝－1， 当k＝3时，sin θ·cos θ＝4不合题意，舍去． 当k＝－1时， ∴或 又θ∈(0,2π)，∴θ＝π或. 综上知k＝－1，θ＝π或. B级 素养提升 一、选择题 1．下列各说法中正确的是( B ) A．存在角α，使cos α＝，tan α＝ B．不存在角α，使sin α＝cos α＝ C．cos ＝ D．若sin α－cos α＝，则α是锐角 [解析] B选项中，sin 2α＋cos 2α＝＋＝>1，故不存在这样的角α. 2．已知sin (α＋)＝，α∈(－，0)，则tan α的值为( A ) A．－2 B．2 C．－ D． [解析] ∵sin (α＋)＝，∴cos α＝. 又∵α∈(－，0)， ∴sin α＝－＝－. ∴tan α＝＝－2. 3．若π<α<，＋的化简结果为( D ) A． B．－ C． D．－ [解析] 原式＝＋ ＝＋＝ ∵π<α<，∴原式＝－. 4．若＝2，则sin θ·cos θ＝( D ) A．－ B． C．± D． [解析] 由＝2，得tan θ＝4，sin θcos θ＝＝＝. 二、填空题 5．化简＝____. [解析] 原式＝ ＝＝. 6．若α是锐角，且2tan α＋3sin β＝7，tan α－6sin β＝1，则sin α＝____. [解析] 由2tan α＋3sin β＝7，得4tan α＋6sin β＝14①，又tan α－6sin β＝1②，①＋②，得5tan α＝15，∴tan α＝3，又由1＋tan 2α＝，有cos 2α＝＝＝，∴sin 2α＝1－cos 2α＝，∵0<α<，∴sin α＝. 三、解答题 7．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α(1＋)＝＋. [证明] 左边＝sin α(1＋)＋cos α(1＋) ＝sin α＋＋cos α＋ ＝＋＝＋＝右边． 即原等式成立． ... ...
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