章末检测(四) 数系的扩充与复数的引入 (时间：90分钟 满分：100分) 第Ⅰ卷(选择题，共40分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1．复数z＝＋i2对应点在复平面( ) A．第一象限内 B．实轴上 C．虚轴上 D．第四象限内 解析：∵z＝－1，故对应点在实轴上． 答案：B 2．向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是( ) A．－10＋8i B．10－8i C．0 D．10＋8i 解析：＋对应的复数是5－4i＋(－5＋4i)＝(5－5)＋(－4＋4)i＝0. 答案：C 3．复数＝( ) A．2－i B.＋i C．10－5i D.－i 解析：＝＝＝2－i，故选A. 答案：A 4．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( ) A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i 解析：由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0， 即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0. ∴，解得，∴z＝3－i. 答案：B 5．若复数z满足方程z2＋2＝0，则z3等于( ) A．±2 B．－2 C．－2i D．±2i 解析：由z2＋2＝0，∴z＝±i， ∴z3＝±2i. 答案：D 6．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝( ) A．2i B．i C．－i D．－2i 解析：设z＝bi，其中b≠0，b∈R，则由＝＝＝是实数，得2＋b＝0，b＝－2，故z＝－2i.故选D. 答案：D 7．复数＋的虚部是( ) A.i B. C．－i D．－ 解析：∵＋＝＋＝＋＝， ∴其虚部是，故选B. 答案：B 8．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于( ) A．1 B．－i C．±1 D．±i 解析：设z＝a＋bi，由z＋＝4，z·＝8， 可得所以或 即z＝2＋2i或z＝2－2i. 当z＝2＋2i时，＝＝＝＝－i； 当z＝2－2i时，＝＝＝＝i. 答案：D 9．若复数z＝cos θ＋isin θ且z2＋2＝1，则sin2θ＝( ) A. B. C. D．－ 解析：z2＋2＝(cos θ＋isin θ)2＋(cos θ－isin θ)2 ＝2cos 2θ＝1?cos 2θ＝， 所以sin2θ＝＝. 答案：B 10．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2 C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y| 解析：对于A：|z－|＝|2yi|＝2|y|≠2y；对于B：z2＝x2－y2＋2xyi≠x2＋y2；对于C：|z－|＝2|y|≥2x不一定成立；对于D：|z|＝≤|x|＋|y|成立． 答案：D 第Ⅱ卷(非选择题，共60分) 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．若复数(1＋ai)2(i为虚数单位，a∈R)是纯虚数，则复数1＋ai 的模是_____． 解析：因为(1＋ai)2＝1－a2＋2ai是纯虚数，所以1－a2＝0，a2＝1，复数1＋ai的模为＝，故填 . 答案： 12．复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是_____． 解析：∵|z|＝3，∴＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以O′(－1,2)为圆心，以3为半径的圆． 答案：以(－1,2)为圆心，3为半径的圆 13．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则(z1－z2)i 的虚部是_____． 解析：∵z1－z2＝2＋2i， ∴(z1－z2)i＝－2＋2i， ∴(z1－z2)i的虚部是2. 答案：2 14．已知复数z满足|z－i|＝1，则|z＋2－i|的最小值为_____． 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|＝1， 得|x＋yi－i|＝|x＋(y－1)i|＝ ＝1， ∴x2＋(y－1)2＝1，即(y－1)2＝1－x2， ∴|z＋2－i|＝|x＋yi＋2－i|＝|(x＋2)＋(y－1)i| ＝＝＝， ∵(y－1)2＝1－x2≥0，∴－1≤x≤1， ∴当x＝－1时，|z＋2－i|min＝1. 答案：1 三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(10分)计算下列各题： (1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)(－＋i)(1＋i)． 解析：(1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. (2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i＋9i－12i2＝9＋13i. (3)(1－i)(－＋i)(1＋i) ＝(－＋i ... ...
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