高考热点追踪(五) 圆锥曲线交汇大观 交融性试题是高考数学试题中“抢眼”的一种题型，它多姿多彩的格调、清新优美的风采，构成了高考试题中一道亮丽的风景． 圆锥曲线是中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系多项内容的媒介，下面例析圆锥曲线与其他知识的交汇． 一、圆锥曲线与导数交汇 (2019·扬州期末)已知抛物线C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段． (1)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； (2)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分． 【解】 (1)函数y＝x2＋2x的导数y′＝2x＋2，曲线C1在点P(x1，x＋2x1)的切线方程是： y－(x＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)， 即y＝(2x1＋2)x－x，① 函数y＝－x2＋a的导数y′＝－2x, 曲线C2在点Q(x2，－x＋a)的切线方程是y－(－x＋a)＝－2x2(x－x2)， 即y＝－2x2x＋x＋a，② 如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程， 所以，消去x2得方程2x＋2x1＋1＋a＝0， 若判别式Δ＝4－4×2(1＋a)＝0时，即a＝－时解得x1＝－，此时点P与Q重合． 即当a＝－时C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为y＝x－． (2)证明：由(1)可知．当a<－时C1和C2有两条公切线， 设一条公切线上切点为：P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 其中P在C1上，Q在C2上，则有x1＋x2＝－1， y1＋y2＝x＋2x1＋(－x＋a)＝x＋2x1－(－x1－1)2＋a＝－1＋a， 线段PQ的中点为． 同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是． 所以公切线段PQ和P′Q′互相平分． [名师点评] 解析几何与导数交汇的试题别致新颖，是高考的冷点．求解时要充分利用导数、解析几何的概念、性质，最好结合图形来求解． 二、圆锥曲线与数列交汇 (2019·江苏省高考名校联考(四))在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，一条准线方程为x＝． (1)求椭圆C的方程； (2)若F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，D为椭圆C上的动点，求·的取值范围； (3)若不过原点O的直线l与椭圆C交于P，Q两点，且满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率． 【解】 (1)由题意得， 解得，又a2＝b2＋c2，所以b2＝1， 故椭圆C的方程为＋y2＝1． (2)由(1)得F1(－，0)，F2(，0)，设点D(x，y)，则·＝(x＋)(x－)＋y2＝x2＋y2－3． 又＋y2＝1，x∈[－2，2]， 所以·＝－2∈[－2，1]， 所以·的取值范围是[－2，1]． (3)由题意得直线l不过原点且斜率存在，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立得，消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 所以， 所以4k2＋1＞m2． 所以kOP·kOQ＝·＝＝＝k2＋＝k＝k2，所以km·＝m2， 又m≠0，所以k2＝，所以k＝±． [名师点评] 本题考查了解析几何与数列的综合应用，解题时注意转化化归思想的应用． 三、圆锥曲线与三角、向量交汇 在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是_____． 【解析】 设P(x，y)，则·＝(－12－x，－y)·(－x，6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20，又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0，所以点P在直线2x－y＋5＝0的上方(包括直线上)，又点P在圆x2＋y2＝50上，由解得x＝－5或x＝1，结合图象(图略)，可得－5≤x≤1，故点P的横坐标的取值范围是[－5，1]． 【答案】 [－5，1] (2019·南京模拟)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，右准线为l，M，N是l上的两个动点，·＝0． (1)若||＝||＝2，求a，b的值； (2)证明：当MN取最小值时，＋与共线． 【解】 由a2－b2＝c2与e＝＝，得a2＝2b2，a2＝2c2，F1，F2，l的方程为x＝a， 设M(a，y1)，N(a，y2)， 则＝，＝， 由· ... ...
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