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课件网) 数学归纳法 从前有个财主，请来一位先生教儿子识字。先生写一横，告诉他的儿子是“一”字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，告诉是个“三”字。学到这里,儿子就告诉父亲说：“我已经会了，不用先生再教了。”财主很高兴，就把先生给辞退了。有一天，财主要请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖…… 1.创设情境、引入新课 同学们你知道他是怎么写“万”字的吗？ 请问：他应用了什么数学推理？ 归纳推理 发现问题：由归纳推理得到的结论不一定正确 12 － 1＋11＝11， 22 － 2＋11＝13， 32 － 3＋11＝17 42 － 4＋11＝23 52 － 5＋11＝31 都是质数，于是有人用归纳推理提出猜想： 任何形如n2 － n＋11(n∈N*)的数都是质数 因为n＝11时， n2－ n＋11＝112－ 11＋11 ＝121是一个合数 1.创设情境、引入新课 猜想对吗？ 1.创设情境、引入新课 1.创设情境、引入新课 这个归纳推理所得结论正确吗？ 提出问题：有没有一种数学方法能通过有限步来证明此类无限的问题？ 为了回答这个问题，我们先来做个著名游戏，看能不能从中受到启发 游戏判定：所有骨牌倒下即为成功． 2.活动体验、探究原理 多米诺骨牌游戏 请结合刚才的游戏体验，思考并讨论下列问题： 任给n张骨牌排成一列，要保证所有骨牌全部倒下(即游戏成功)，需要满足哪些条件？ 2.活动体验、探究原理 结论： “任给n张骨牌倒下”的条件： （1）保证第1张骨牌倒下 （2）第k张骨牌倒下导致第k+1张骨牌倒下 多米诺骨牌原理 （1）保证第1张骨牌倒下 （2）第k张骨牌倒下 导致第k+1张骨牌倒下 任意正整数n等式成立 类比 类比 （1）n=1时等式成立 （2）n=k时等式成立 推出n=k+1时等式成立 3.类比抽象、形成概念 解决问题 多米诺骨牌原理 任意正整数n命题成立 （1）第1张骨牌倒下 （2）第k张骨牌倒下 导致第k+1张股骨牌倒下 （1）n=1时命题成立 （2）假设n=k时命题成立 推出n=k+1时命题成立 由（1）（2）可得，命题对于任意正整数n成立 数学归纳法 n=1命题成立 n=2命题成立 n=3命题成立 n=4命题成立 n=5命题成立 ? …… 4.分析概念、形成方法 反思:第（2）步实质的作用是什么？ 第（2）步证明的是递推关系 形成方法 多米诺骨牌原理 任意正整数n命题成立 （1）第1张骨牌倒下 （2）第k张骨牌倒下 导致第k+1张股骨牌倒下 （1）n=1时命题成立 （2）假设n=k时命题成立 验证n=k+1时命题成立 由（1）（2）可得，命题对于任意正整数n成立 数学归纳法 n=1命题成立 n=2命题成立 n=3命题成立 n=4命题成立 n=5命题成立 ? …… (1)证明起点 (2)证明递推关系 4.分析概念、形成方法 对任意正整数n成立． 例：运用数学归纳法证明： 5.例题呈现、巩固知识 应用方法 用数学归纳法证明： 证明： 当n=k+1时 （2）假设当n＝k (k?N*)时，等式成立，即 （1）当n=1时， (n?N*) 左边= 等比数列求和！ =右边， 即当n=k+1时等式也成立。 根据(1)和(2)可知，等式对任何n?N*成立。 错解！ 错因:没有用到假设！ 思考1 左边＝1， 右边＝1， 等式成立。 思考2：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？ 解:设n＝k时成立，即 这就是说，n＝k+1时也成立 2+4+6+…+2k＝k2+k+1 则当n=k+1时, 2+4+6+…+2k+2(k+1) ＝k2+k+1+2k+2 ＝(k+1)2+(k+1)+1 所以等式对任何n∈N*都成立 事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3 左边≠右边，等式不成立 该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早 错解！ 1.数学归纳法能够解决哪一类问题？ 用于证明某些与正整数有关的数学命题。 2.数学归纳法证明命题的步骤？ (1)证明当n取第一个值(初始值)时结论正确； (2)假设 ... ...
