《导数在实际生活中的应用(2)》自主学习任务单 一、学习目标 1．通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值． 2．通过实际问题的研究，促进分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高． 3．掌握利用导数解决函数最值方法及注意点． 二、学习过程 1．导入新课 知识点 生活中的优化问题 （1）生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． （2）利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． （3）解决优化问题的基本思路是： 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程. 2.问题导学 问题1：上节课我们解决了哪些生活中的实际问题？ 问题2：解应用题一般步骤是什么？建立函数关系有哪些注意点？ 问题3：利用导数求最优解有哪些注意点？ 3.例题导析 例4 强度分别为a,b 的两个光源A，B间的距离为d，试问：在连接这两个光源的线段AB上，何处照度最小？试就a=8，b=1，d＝3时回答上述问题．（照度与光的强度成正比，与光源的距离的平方成反比）． 分析：本题如何表示两光源线段AB上某点的照度． 问题1：如何表示照度？以谁为变量？ 问题2：怎么样确定变量的取值范围？ 问题3：如何求照度的最小值？ 例5 甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 (千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元． （1）把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 分析：成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答． 问题1：全程的运输成本与时间是否有关？如何求全程的时间？ 问题2：运输成本的导数为零的根是否为极值点？如何判断？ 4.反馈练习 （1）某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产 千台． （2）某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件． （1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数？ （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 5.反思总结 （1）利用导数解决生活中优化问题的一般步骤是什么？ （2）利用导数求解是解答应用问题要注意什么？ 三、效果检测 1.完成教材习题1.4 感受理解： 第3题，第4题． 2.探究拓展： （1）某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是 ． （2）某超市中秋前30天，月饼销售总量f(t)与时间t(0
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