分数指数幂 【学习目标】 理解分数指数的含义，了解实数指数幂的意义，理解n次方根，n次根式的概念，熟练掌握用根式与分数指数幂表示一个正实数的算术根；能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化。 【典型例题】 类型一、根式 例1.计算：（1）； （2）. 【答案】 【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式. （1） =+- = =||+||-|| =+-（） =2 （2） = = = 【点评】 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，的分子、分母中同乘以. 举一反三： 【变式1】化简：（1）； （2） 【答案】（1）；（2）。 类型二、指数运算、化简、求值 例2.用分数指数幂形式表示下列各式（式中）： （1）；（2）；（3）；（4）。 【答案】；；； 【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。 （1） （2）； （3）； （4）解法一：从里向外化为分数指数幂 == = = = 解法二：从外向里化为分数指数幂。 = == = = 【点评】此类问题应熟练应用。当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简。 举一反三： 【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简 （1）； 【答案】（1）；（2）。 【变式2】把下列根式化成分数指数幂： （1）；（2）；（3）；（4）。 【答案】；；； 【解析】（1）=； （2）； （3）； （4）= =。 例3.计算： (1)； (2) (3)。 【答案】3；0；2 【解析】(1)原式=； (2)原式=； (3)原式=-5+6+4--(3-)=2； 【点评】（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂. 举一反三： 【变式1】计算下列各式： (1)； (2). 【答案】(1)112 （2） 【解析】(1)原式=； (2)原式. 例4.化简下列各式. (1) ； (2)； (3). 【答案】；；0.09 【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算. (1) (2) (3) 举一反三： 【变式1】化简 【答案】 【解析】应注意到之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解， 原式 . 【点评】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数. 【变式2】化简下列式子： (1) (2) (3) 【答案】；； 【解析】(1)原式 (2) ∴由平方根的定义得： (3) . 例5．已知，求的值。 【答案】 【解析】从已知条件中解出的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值。 ，， ， = = 【点评】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值。本题的关键是先求及的值，然后整体代入。 举一反三： 【变式1】(1)已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值. (2)已知x+y=12， xy=9，且x
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