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课件网) 第八讲 对无穷的深入思考 —康托尔的集合论 无穷集合（元素个数无穷）———一个“矛盾”的集合. 以前的自然数集合指的是正整数集合;现在规定0也属于自然数集 . Aristotle（亚里士多德）考虑过无穷集合，他认为潜在的无穷（大）需要和真实的无穷（大）加以区别. 微积分———重建数学基础. 微积分理论遇到严重的逻辑困难. 对微积分基础的严密论证成为集合论产生的一个重要原因. 悖论：我们把自相矛盾的命题称为悖论. 数学家们为了解决类似的“悖论”，200多年后诞生了整个数学基础的学科———集合论. 二. 无穷集合论的创立 了解集合的概念. 能够比较两个集合的势的大小. 康托尔的集合论思想. 通过社会背景了解当时人们的无穷观念. 查阅课外资料理解康托尔的集合论思想. 学习数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神，培养创造性思维力. 康托尔的集合论思想. 比较两个集合的势的大小. 1.建立集合理论的最早尝试 在重建微积分理论的过程中，Bolzano （波尔查诺）是第一个朝着建立集合的明 确理论方向采取了积极步骤的人. 波尔查诺（B.Bolzano，1781-1848）———捷克著名的数学家.早在康托尔之前，就已经为建立集合论作出了努力. 波尔查诺的观点： 支持实无穷集合的观点. 强调两个集合等价的概念. 对于无穷集合，可以指定一种数叫超限数，使不同的无穷集合有不同的超限数. 无限集合的部分子集可以等价于整体，例如0到5之间的实数可以通过公式 与0到12间的实数构成一一对应，虽然和第二个数集包含了第一个数集，但是他同样也遇到了一些问题在他看来属于悖论的，因此他认为这些不必深入研究. x y 0 0 1 2.4 2.5 6 0.5 1.2 5 12 2.康托尔的集合论思想 1874年开始，康托尔的集合论思想的文章分别发表在《克雷尔数学杂志》和《数学年鉴》上. 康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德） 德国数学家，集合论的创始者 .1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷.其父为迁居俄国的丹麦商人.康托尔11岁时移居德国,在德国读中学.1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学 . 给出了集合（set）的概念 集合为一些确定的﹑不同的东西的总体，这些东西人们能意识到，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体. 明确指出那些认为只有潜无穷集合的 人是错误的. 如果一个集合能够和它的一部分构成 一一对应，那么它就是无穷的. 将集合论的概念推广到了n维欧几里得 空间的点集. 两个元素能够一一对应的集合，称为是等价的或具有相同的“势”. “势”的概念可以应用于有限集合. 如果两个有限集合的元素个数相同，就可以说他们是等价的或等势的. 有两个集合M和N，如果在M和N这两个集合中，N能与M的一个子集构成一一对应，而M不可能与N的任何子集构成一一对应，就说M的势大于N的势. 过去数学家认为靠得住的只有限，而康托尔把无穷分成许多“层次”.在最初阶段，康托尔主要证明了无穷之间也有差别，既存在可数的无穷，比如自然数集，也存在那种像实数集合那样不可数的无穷. 3.不朽的康托尔 康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者.是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一. 他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造. 中学阶段便激发了对数学的热爱，定下决心投身纯粹数学，并为之不断努力.中学毕业时，学校的评语是这样的： “六年一班学生康托尔是一个有很高天赋，发展全面的学生，在数学方面尤为突出，具备了出色的从事自然科学研究的预备知识和能力.” “离经叛道”的理论受到来自四面八方的攻击 克罗内克 vs 希尔伯特 康托尔 彭加勒 菲利克斯．克莱因 坚持科学所付出的代价 在40岁的时候，他患了精神分裂症 ... ...
