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课件网) 第八讲 对无穷的深入思考 ———康托尔的集合论 集合论 数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合。集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。集合论或集论是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含了集合、元素和成员关系等最基本的数学概念。 在大多数现代数学的公式化中，集合论集合是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有领域。如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性。其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一。提供了要如何描述数学物件的语言。 旧知链接 1.元素与集合的概念 2.集合中元素的特征 3.集合的表示方法 4.集合之间的关系 5.集合的分类 6.常用数集 比较一下 ﹛1，2，3，4，5，6﹜ ﹛1，2，3，4，5，6，7﹜ 哪个集合中的元素多？ 真子集：若集合A中的元素全部包含在集合B中，而集合B中存在元素不在集合A中，则称集合A为集合B的真子集. 历史留声机 旧知回顾 问题1： 全体自然数与它们的平方数,哪个多哪个少？ { 1，2，3，…，n，…} ? ? ? ? { 1，4，9，…，n2，…} 新知导入 1638年，意大利著名科学家伽利略提出一个问题： 不同观点： 自然数的平方仍是自然数，所以自然数集中的元素个数应该多于其平方数. 无论是自然数的平方还是自然数，都是无穷多个，所以自然数的元素个数应该等于其平方数. 伽利略本人对此问题困惑不解，不知道如何作答，因为不管如何回答都会自相矛盾.后来人们把这个问题称为伽利略悖论. 伽利略悖论 一. 古代的无穷观念 你能举出其他有关中国古代无穷 思想的事例吗？ 中国古代数学中的无穷思想 芝诺悖论 1． 一物从甲地到乙地，永远不能到达.因要想从甲到乙，首先要通过路径的一半.但要通过这一半，必须通过一半的一半，这样直至无穷，物体根本不能前进一步. 二分说 西方数学中的无穷思想 阿基里斯追龟说 2． 阿基里斯（荷马史诗《伊里亚特》中的善跑英雄）追龟说.阿基里斯追乌龟，永远追不上.因当他在追乌龟的出发点时，乌龟向前爬行了一段，他再追完这一段，乌龟又向前爬行了一段，这样永远重复下去，总也追不上. 看到这里，大家可能会产生一个问题：历史上这些哲学家们制造这些悖论到底有什么意义呢？毕竟连他们自己也不会相信这些悖论啊！但其实这些悖论对于锻炼我们的思维，促进思想的发展有很重要的意义。就像头疼脑热的小病反而会锻炼我们的抵抗力一样，芝诺悖论和很多其他逻辑学上有趣的悖论一次又一次地提醒哲学家和逻辑学家们去反思自己的思维框架和习惯，人类就是在这种反思和检讨中战胜无聊、不断进步的，你说对吧？ 德国哲学家康德（1724—1804）认为无穷像一个梦，看不到尽头，尽头是摔了一跤或者晕倒下去，但是，尽管摔了一跤或者晕倒下去，也不可能达到无穷的尽头. 无穷问题困扰了数学家两千多年，人们采取回避的态度. 微积分的创立促进了无穷问题的解决，使人们不得不面对无穷集合的许多问题. 19世纪末，年轻的德国数学家康托尔用智慧拨去了笼罩在无穷集合上的重重迷雾，终于使人们看清了“无穷”的真面目，并且建立了“无穷集合论”. 不朽的康托尔： 康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者，是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一。 他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造。 建立集合理论的最早尝试 捷克哲学家、数学家 1796年入布拉格大学哲学院攻读哲学、物理学和数学 1800年又入神学院，?1805年任该校宗教哲学教授。? 815年成为波希米亚皇家学会 ... ...
