基础要求 1．a＋b>c＋d的必要而不充分条件是( ) A．a>c B．b>d C．a>c且b>d D．a>c或b>d 解析：A、B既不充分也不必要；C是充分而不必要；D是必要而不充分条件．可用反证法证明如下：若a>c或b>d不成立，则a≤c且b≤d，相加，a＋b≤c＋d，与a＋b>c＋d，矛盾，故条件是必要的． 又取a＝10，b＝1，c＝4，d＝8，知条件是不充分的． 答案：D 2. 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析：“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”的否定为：“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”，故选A. 答案：A 3．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c都是偶数 C．a、b、c中至少有两个偶数 D．a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数 解析：恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数．故选D. 答案：D 4．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)．试证：数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn＋1.当此题用反证法否定结论时，应为( ) A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1 B．存在正整数n，使xn＝xn＋1 C．存在正整数n，使xn≥xn－1且xn≥xn＋1 D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0 解析：结论是说数列{xn}或单调增加或单调减少，总之是严格单调数列．其否定应是：或为常数列或为摆动数列．因而其中存在一个项xn，或不比两边的项大，或不比两边的项小，即xn≤xn－1且xn≤xn＋1或xn≥xn－1且xn≥xn＋1合并为(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0.故选D. 答案：D 5．设x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数( ) A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2 解析：∵a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6， 因此a，b，c至少有一个不小于2. 答案：C 能力要求 1．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是_____． 解析：“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”． 答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角 2．完成反证法证题的全过程． 题目 设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数． 证明：反设p为奇数，则_____均为奇数．① 因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝_____② ＝_____③ ＝0. 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数． 解析：反设p为奇数，则a1－1，a2－2，…a7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有： 奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0. 但奇数≠偶数，这一矛盾说明，p为偶数． 答案：a1－1，a2－2，…a7－7 (a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) (a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7) 3．求证：、、不能为同一等差数列的三项． 证明：设、、为某一首项为a，公差为d的等差数列{an}的三项，则－＝md，① －＝nd，② (其中m、n为整数且不为零) 两式相除得＝，即n＋m＝(m＋n). ∴2n2＋5m2＋2mn＝3(m＋n)2. ∴＝ ∵为有理数，为无理数， ∴≠. ∴因此假设不成立，∴原命题正确． 4．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于. 证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于. ∵a、b、c都是小于1的正数， ∴1－a,1－b,1－c都是正数． ≥>＝， 同理>，>. 三式相加，得＋＋>， 即>，矛盾． 所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于. 拓展要求 设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等 ... ...
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