基础要求 1．如果公差不为零的等差数列中的第二、第三、第六项构成等比数列，那么这个等比数列的公比等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：综合法推知d＝－2a1，于是q＝3. 答案：C 2．函数f(x)＝ln(ex＋1)－( ) A．是偶函数，但不是奇函数 B．是奇函数，但不是偶函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数 解析：(综合法)以－x代x，f(x)不变选A. 答案：A 3．函数y＝f(x)图象关于直线x＝1对称，若当x≤1时，f(x)＝(x＋1)2－1，则当x>1时，f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝(x＋3)2－1 B．f(x)＝(x－3)2－1 C．f(x)＝(x－3)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1 解析：设x>1，P(x，y)为f(x)图象上任一点，则P关于x＝1的对称点P′(2－x，y)在f(x)＝(x＋1)2－1上，故y＝(2－x＋1)2－1＝(x－3)2－1. 答案：B 4．函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是_____． 解析：y＝f(x＋2)是偶函数． 则f(x＋2)＝f(－x＋2)，则x＝2是f(x)的对称轴． 又f(x)在(0,2)上是增函数， ∴f(1)
0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，如图1所示，证明直线AC经过原点O. 证明：因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(，0)，所以经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋， 代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0. 若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1、y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2. 因为BC∥x轴，且点C在准线x＝－上， 所以点C的坐标为(－，y2)． 故直线CO的斜率为k＝＝＝. 即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O. 2．求证：－2cos(α＋β)＝. 证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β， 两边同除以sin α得－2cos(α＋β)＝. 3．△ABC的三边长a、b、c的倒数成等差数列，求证：B<90°. 证明：由题意知＝＋，∴b(a＋c)＝2ac. ∵cosB＝≥＝1－ ＝1－＝1－， 又△ABC三边长a、b、c满足a＋c>b， ∴<1.∴1－>0. ∴cosB>0，即B<90°. 4．已知sinα是sinθ、cosθ的等差中项，sinβ是sinθ、cosθ的等比中项． 求证：cos4β－4cos4α＝3. 证明：由已知sinθ＋cosθ＝2sinα，① sinθ·cosθ＝sin2β，② ①2－2×②得4sin2α－2sin2β＝1.③ 又sin2α＝，sin2β＝，代入③得， 2cos2α＝cos2β，∴4cos22α＝cos22β. ∴4·＝. ∴cos4β－4cos4α＝3. 拓展要求 设△ABC的三条高分别为ha、hb、hc，r为内切圆半径，且ha＋hb＋hc＝9r，试证该三角形为等边三角形． 证明：设三角形三边分别为a、b、c，三角形面积为S， 由三角形面积公式得ha＝，hb＝，hc＝. 则有ha＋hb＋hc＝2S. 又S＝(a＋b＋c)·r，ha＋hb＋hc＝9r. ∴(a＋b＋c)＝9. ∴a2b＋a2c＋b2a＋b2c＋c2a＋c2b－6abc＝0. 因式分解有a(b－c)2＋b(c－a)2＋c(a－b)2＝0. ∵a>0，b>0，c>0， ∴(b－c)2＝(c－a)2＝(a－b)2＝0. 即a＝b＝c，故△ABC为等边三角形． 基础要求 1．已知函数f(x)＝3＋ax－1(a>0且a≠1)，则其反函数f－1(x)的图象必过定点( ) A．(1,4) B．(2,5) C．(5,2) D．(4,1) 解析：原函数过(1,4)，故反函数图象过点(4,1)． 答案：D 2 ... ... 