2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修4学案：第1章1.21.2.2　同角三角函数关系Word版含解析

1.2.2　同角三角函数关系 学 习 目 标 核 心 素 养(教师独具) 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝.(重点) 2.能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点) 通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养. 同角三角函数的基本关系 1．平方关系：sin2α＋cos2_α＝1. 2．商数关系：tan α＝. 思考：sin2α＋cos2β＝1恒成立吗？ [提示]　不一定． 1．思考辨析 (1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．(　　) (2)对任意角α，＝tan 都成立．(　　) (3)若sin α＝，则cos α＝.(　　) [解析]　(1)√.符合同角三角函数的关系． (2)×.等式＝tan 的条件是 即α≠π＋2kπ，k∈Z. (3)×.因为α的范围不明确，故cos α＝±＝±. [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．已知α是第二象限角，且cos α＝－，则tan α＝_____. －2　[∵α是第二象限角，∴sin α＞0. 又sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝＝＝， ∴tan α＝＝－2.] 3．已知tan α＝2，则＝_____. －　[由tan α＝2知cos α≠0， 所以＝＝－.] 利用同角基本关系式求值 【例1】　(1)已知sin α＝－，求cos α，tan α的值； (2)已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos2α的值． 思路点拨：(1) (2)先由已知条件求出tan α，再将式子化成关于tan α的形式，代入求解，也可直接代入，利用平方关系化简． [解]　(1)因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角． 由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－2＝. 如果α是第三象限角，那么cos α＜0. 于是cos α＝－＝－， 从而tan α＝＝×＝. 如果α是第四象限角，那么cos α＝，tan α＝－. (2)法一：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2. 所以2sin αcos α－cos2α＝＝＝＝－1. 法二：由sin α＋2cos α＝0得2cos α＝－sin α， 所以2sin αcos α－cos2α＝－sin2α－cos2α＝－(sin2α＋cos2α)＝－1. 1．求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值． 1．已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值． [解]　法一：∵tan α＝－2<0， ∴α为第二或第四象限角，且sin α＝－2cos α，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②消去sin α，得(－2cos α)2＋cos2α＝1，即cos2α＝； 当α为第二象限角时，cos α＝－，代入①得sin α＝； 当α为第四象限角时，cos α＝，代入①得sin α＝－. 法二：∵tan α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角． 由tan α＝， 两边分别平方，得tan2α＝， 又sin2α＋cos2α＝1， ∴tan2α＋1＝＋1＝＝， 即cos2α＝. 当α为第二象限角时，cos α<0， ∴cos α＝－＝－＝－， ∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×＝. 当α为第四象限角时，cos α>0， ∴cos α＝＝＝， ∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×＝－. 三角函数式的化简、求值 【例2】　(1)化简：； (2)若角α是第二象限角，化简：tan α. 思路点拨：(1)―→  (2)―→ [解]　(1)原式＝  ＝＝＝1. (2)原式＝tan α＝tan α＝×，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝×＝×＝－1. 化简三角函数式的常用方法： ?1?切化 ... ...