第二章 平面向量 §7 向量应用举例 7.1 点到直线的距离公式 7.2 向量的应用举例 课时跟踪检测 一、选择题 1．已知直线l：5x－y－7＝0，向量P＝(k＋1,2k－3)，且P∥v，则k的值为(向量v为l的方向向量)( ) A． B． C． D．－ 解析：l的方向向量v＝(1,5)，由v与P平行得 5(k＋1)＝2k－3.解得k＝－. 答案：D 2．和直线3x－4y＋7＝0平行的向量a及垂直的向量b分别是( ) A．a＝(3,4)，b＝(3，－4) B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3) C．a＝(4,3)，b＝(3，－4) D．a＝(－4,3)，b＝(3,4) 解析：直线3x－4y＋7＝0的方向向量为(4,3)，法向量为(3，－4)，故a＝(4,3)，b＝(3，－4)． 答案：C 3．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC一定是( ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：(＋)·＝||2，则·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，∴2·＝0，∴⊥，∴∠A＝90°.故选C． 答案：C 4．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为( ) A．(－2,4) B．(－30,25) C．(10，－5) D．(5，－10) 解析：设5秒后点P运动到点A，则＝＋＝5v＝(20，－15)，∴＝(20，－15)＋(－10,10)＝(10，－5)． 答案：C 5．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( ) A．以a，b为两边的三角形的面积 B．以b，c为两边的三角形的面积 C．以a，b为邻边的平行四边形的面积 D．以b，c为邻边的平行四边形的面积 解析：∵|b·c|＝|b|·|c|·|cosθ|，如图，∵a⊥c，∴|b|·|cosθ|就是以a，b为邻边的平行四边形的高， 而|a|＝|c|，∴|b·c|＝|a|(|b|·|cosθ|)， ∴|b·c|表示以a，b为邻边的平行四边形的面积，故选C． 答案：C 6．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( ) A．6 B．2 C．2 D．2 解析：∵F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)， ∴|F3|2＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2F1·F2＝4＋16＋2|F1|·|F2|·cos60°＝20＋2×2×4×＝28. ∴|F3|＝2. 答案：D 二、填空题 7．已知作用在A(1,1)点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为_____． 解析：F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)． 又∵起点坐标为A(1,1)，∴终点坐标为(9,1)． 答案：(9,1) 8．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a＋b)，则向量a与向量b夹角的大小是_____． 解析：设a与b夹角为θ，则a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋cosθ＝0，整理得cosθ＝－，∴θ＝. 答案： 9．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则·等于_____． 解析：·＝·(－)＝·－·，因为OA＝OB，所以在上的投影为||，所以·＝||·||＝2，同理·＝ ||·||＝，故·＝－2＝. 答案： 三、解答题 10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设正方形ABCD边长为a，则B，D，C的坐标分别为(a,0)，(0，a)，(a，a)． ∵E，F分别为AB，BC的中点，∴E，F.从而＝－(0，a)＝，＝－(0,0)＝， ∴·＝×a＋(－a)×＝0. ∴⊥，故AF⊥DE. 11．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)． (1)求·和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状； (2)若M为BC边的中点，求||. 解：(1)由题知，＝(3，－1)，＝(－1，－3)， ∴·＝(3，－1)·(－1，－3)＝－3＋3＝0. 设向量、夹角为θ， 根据夹角公式cos∠ACB＝cosθ＝. ∵＝(1,3)，＝(4,2)，∴cos∠ACB＝ ＝，∴∠ACB＝. ∵·＝0，∴⊥，即AB⊥AC ... ...
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