第三章 三角恒等变形 §1 同角三角函数的基本关系(1) 课时跟踪检测 一、选择题 1．已知α是第四象限角，并且cosα＝，那么tanα的值等于( ) A． B． C．－ D．－ 解析：∵α为第四象限角，且cosα＝， ∴sinα＝－＝－ ＝－， ∴tanα＝＝－. 答案：D 2．已知向量a＝(3,4)，b＝(sinθ，cosθ)，且a∥b，则tanα＝( ) A． B． C．－ D．－ 解析：∵a∥b，∴3cosθ＝4sinθ，∴tanθ＝. 答案：A 3．下列等式中正确的是( ) A．sin2＋cos2＝ B．若α∈(0,2π)，则一定有tanα＝ C．sin＝± D．sinα＝tanα·cosα 解析：同角的三角函数基本关系式中要求角是“同角”，且对于“任意角”都成立，所以A不正确；利用同角三角函数的基本关系时一定要注意其隐含的条件，对于B中cosα≠0，即α≠kπ＋(k∈Z)，因而B不正确；因为0＜＜，所以sin＞0，所以C不正确． 答案：D 4．已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，sin(105°＋α)的值为( ) A． B． C．－ D． 解析：∵(105°＋α)－(α－75°)＝180°， ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)． 又∵α为第四象限角且cos(α－75°)＜0， ∴α－75°为第三象限角， ∴原式＝ ＝. 答案：A 5．某同学在做老师布置的课后作业时，遇到某一题是这样写的，已知α是第一象限角，且sinα＝_____cosα，则tanα＝_____.由于横线处的纸张破损，现只知道sinα>cosα，则tanα的值可能为( ) A．－1 B． C． D． 解析：由α是第一象限角，且sinα>cosα>0， ∴tanα＝>1. 答案：B 6．函数y＝－sin2x－3cosx的最小值是( ) A．－ B．－2 C． D．－ 解析：y＝－(1－cos2x)－3cosx ＝cos2x－3cosx＋ ＝2－2， 当cosx＝1时，ymin＝2－2＝－. 答案：A 二、填空题 7．若sinα＋cosα＝，则tanα＋的值为_____． 解析：解法一：∵sinα＋cosα＝， ∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝2， ∴sinαcosα＝， ∴tanα＋＝＋＝＝2. 解法二：∵sinα＋cosα＝，∴α＝＋2kπ，k∈Z， ∴tanα＋＝2. 答案：2 8．已知α是第三象限角，tanα＝1，则sinαcosα＝_____. 解析：解法一：∵tanα＝＝1， ∴sinα＝cosα，又sin2α＋cos2α＝1， ∴2sin2α＝1，又α为第三象限角， ∴sinα＝－，cosα＝－. ∴sinαcosα＝·＝. 解法二：∵α是第三象限角且tanα＝1， ∴α＝π＋2kπ，k∈Z. ∴sinαcosα＝sinπcosπ＝. 答案： 9．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为_____． 解析：由sinα＝得cos2α＝1－sin2α＝. ∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝－＝－. 答案：－ 三、简答题 10．若sinα与cosα是方程x2－x＋n＝0的两根，求n及α的值． 解：由题设知 ②2－2×③，得2－2n＝1，即n＝. ∴解得 ∴α＝2kπ＋，k∈Z. 11．已知sinθ＋cosθ＝－. 求：(1)＋的值；(2)tanθ的值． 解：(1)因为sinθ＋cosθ＝－， 所以1＋2sinθcosθ＝，sinθcosθ＝－. 所以＋＝＝. (2)由(1)得＝－， 所以＝－，即3tan2θ＋10tanθ＋3＝0， 所以tanθ＝－3或tanθ＝－. 12．(1)已知tanα＝3，求sin2α＋cos2α的值； (2)已知＝1，求的值． 解：(1)sin2α＋cos2α＝＝＝＝. (2)由＝1得tanα＝2， ＝＝＝＝. 13．已知sinθ，cosθ是方程6x2－6ax＋1－4a＝0的两根． (1)求a的值； (2)若θ∈(0，π)，求sinθ－cosθ，tanθ的值． 解：(1)sinθ＋cosθ＝a，sinθcosθ＝，且Δ≥0， ∴(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝a2， ∴1＋＝a2，解得a＝或a＝－2(舍)． (2)由(1)知sinθ＋cosθ＝＞0，sinθcosθ＝－＜0， 且θ∈(0，π)，∴＜θ＜π. sinθ－cosθ＝＝. ∵sinθ＋cosθ＝，sinθcosθ＝－，θ∈(0，π)． ∴sinθ ... ...
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