§3.4 基本不等式：≤ 第1课时 基本不等式 题型一 常见推论的证明 例1 证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R) 引申探究1 求证≥(a＞0，b＞0)． 引申探究2 证明不等式2≤(a，b∈R)． 跟踪训练1 当a＞0，b＞0时，求证：≤. 题型二 用基本不等式证明不等式 例2 已知x，y都是正数． 求证：(1)＋≥2； (2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 跟踪训练2 已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc. 题型三 用基本不等式比较大小 例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则( ) A．x＝ B．x≤ C．x＞ D．x≥ 跟踪训练3 设a＞b＞1，P＝，Q＝，R＝lg，则P，Q，R的大小关系是( ) A．R
>>b B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>> 2．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是( ) A．lg(x2＋1)≥lg(2x) B．x2＋1>2x C.≤1 D．x＋≥2 3．若四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则( ) A.> B.< C.＝ D.≤ 4．lg9×lg11与1的大小关系是( ) A．lg9×lg11>1 B．lg9×lg11＝1 C．lg9×lg11<1 D．不能确定 5．设a>0，b>0，给出下列不等式： ①a2＋1>a； ②≥4； ③(a＋b)≥4； ④a2＋9>6a. 其中恒成立的是 ．(填序号) 1．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b. 2.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式． 【巩固提升】 一、选择题 1．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( ) A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab| C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab| 2．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是( ) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2 3．已知m＝a＋(a>2)，n＝(x<0)，则m，n之间的大小关系是( ) A．m>n B．mp D．p＝r>q 5．已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( ) A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4 C.≥2 D.> 6．下列说法正确的是( ) A．若x≠kπ，k∈Z，则min＝4 B．若a<0，则a＋≥－4 C．若a>0，b>0，则lga＋lgb≥2 D．若a<0，b<0，则＋≥2 7．设02 8．设x，y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，则( ) A．x＋y≥2(＋1) B．xy≤＋1 C．x＋y≤(＋1)2 D．xy≥2(＋1) 二、填空题 9．设正数a，使a2＋a－2＞0成立，若t＞0，则logat loga.(填“＞”“≥”“≤”或“<”) 10．设a，b为非零实数，给出不等式： ①≥ab；②≥2；③≥；④＋≥2.其中恒成立的不等式是 ． 11．已知a＞b＞c，则与的大小关系是 ． 12．设a＞1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是 ．(用“＞”连接) 三、解答题 13．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c. 14．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证： (1)＋＋≥8；(2)≥9. §3.4 第1课时 基本不等式答案 例1 证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． 证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， ∴a2＋b2≥2ab. 引申探究1 求证≥(a＞0，b＞0)． 证明 方法一 －＝[()2＋()2－2·]＝·(－)2≥0，当且仅当＝，即a＝b时，等号 ... ... 