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课件网) 立体几何中的向量方法 直线与平面所成角 直线与平面所成角 平面与平面所成角 平面与平面所成角 1．空间角及向量求法 |cos〈a，b〉| 角的分类 向量求法 范围 异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cos θ＝ ＝ 例1如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____. z y B1 C1 D1 A1 C D A B C D 解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标系A- xyz, 设正方体的棱长为2,则 M(1,0, 0),C(2,2,0), B1(2, 0, 2),D(0,2 ,0), 于是, ∴cos< ， >= 链接高考 答案：A 斜线与平面所成的角 平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 当直线与平面垂直时，直 线与平面所成的角是90° 当直线在平面内或 与平面平行时， 直线与平面所成的角是0° |cos〈a，n〉| 步骤： 例2：正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1,高为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角 z x y C1 A1 B1 A C B O 解:建立如图示的直角坐标系,则 A( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0, ). C(- ,0, 0 ) 设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z) 由 得 取y= ,得n=(3, ,0) 而 ∴ ∴ C1 A1 B1 C A O B x y z 从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 以二面角的棱上任意一点为端点， 以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 （3）二面角 设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1 、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦. n1 |cos〈n1，n2〉| [0，π] 例3：在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小. 解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）. 设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由 得 n1=(1,1,2). 而面SAD的法向量n2 = (1,0,0). 于是二面角A-SD-C的大小θ满足 ∴二面角A-SD-C的大小为 . 链接高考 a b a? b? ? o a b a? b? o ? 课堂小结 1.异面直线所成角： 2.直线与平面所成角： 3.二面角： 作业布置： 见学案
